初中数学例习题再设计的思考

陈树生

在初中数学教学中，教师经常需要提供一些习题来帮助学生对所学内容进行巩固，这些习题可以是教师直接选编过来的，也可以是改编或创编的。无论是选编现成的题目，还是改编或创编，都在考验初中数学教师的教学基本功。其中，改编的题目尤其值得教师关注。因为改编大多是在教材一些典型例题或习题的基础上进行的，这一操作在变式教学中也经常被用到，如果学生有意识地对原题和改编题进行比较，将有助于他们提升认识，强化理解。

对于某些典型的数学问题，教师可着手对它的条件进行分析，并对其展开调整，这样就能演变成一个新的问题. 这样处理可以让学生展开比较——虽然新的问题和原有习题之间存在着很大的相似性，但最终却会得到截然不同的结论。这样的处理方式会让学生认识到数学问题的多变性，他们的思维也将因此变得更加灵活。

例1 ：现有一个如图1所示的四边形ABCD，其中AB，BC，CD，DA四边的中点分别为E，F，G，H， 求证：顺次连接上述中点，所得的四边形EFGH是一个平行四边形。

上述问题是一个有关四边形和中位线的典型例题，它为学生后面学习矩形、菱形以及正方形等知识奠定了基础。在教学过程中，很多教师没有充分发掘这个问题的隐含功能，只是安排学生通过连接对角线来完成对问题的处理，这其实在一定程度上增强了问题的特殊性。这虽然也能帮助学生训练有关中位线和平行四边形的相关认识，但笔者认为还没能让学生能力的提升达到应有的程度。因此，笔者对上述试题进行了以下改编尝试。

改编1： 如果E，F，G，H四个点并非原四边形各边的中点，那么是否可以让四边形EFGH仍然是一个平行四边形？

改编2： 在改编1的条件下，是否可以让四边形EFGH成为一个菱形？

改编3： 能否在四边形ABCD四条边上找到四个点E，F，G，H，让它们都不是对应边的中点，且连线也与AC，BC不平行，但是四边形EFGH仍然是一个平行四边形？

改编4 ：在改编3的条件下，是否可以让四边形EFGH成为一个菱形？

在改编操作中，教师应有意识地增强条件或弱化条件，将原来的问题成功转化为一个新的问题，这能促进学生对原来的数学问题进行更进一步的引申思考和推广思考，进而让学生以更加积极的姿态参与到学习之中.。同时，他们也将在问题解决的过程中发展自己的探究能力与合作学习精神。

一个相同的问题场景，如果教师能够切换观察的视角，同时适当对相关数据进行微调，就很有可能促进问题的演变，并得到完全不同的结论. 按照这样的思路对问题进行重新设定或改编，能让学生的视野更加开阔。

例2： 在如图2所示的等边三角形ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AE=CD，连接AD和BE，它们相交于点P，求证：∠APE=60°.

上述例题是一个相当经典的问题，很多教师都是围绕着图形中的两组全等三角形来展开情境探索并设计问题的。如果我们的视野再开阔一点，所能捕捉到的相似三角形一共会是六对，笔者从这一思路出发，对问题进行了改编再设计。

改编 ：在如图2所示的等边三角形ABC中，AB=6，点D在BC边上，点E在AC边上，且AE=CD=4. 连接AD，BE，它们相交于点P.

（1）求证：△ABE≌△CAD;

（2）求EP的长.

这道改编题虽然简短，但容量很大，它将三线合一、勾股定理、全等三角形、相似三角形等知识整合到了一起，有助于学生完成对知识的融会贯通. 为了匹配学生的差异性，笔者在进行问题改编时，也注意了问题的梯度设计。上述问题（1）的设计就相对简单，同时这也在一定程度上为学生的后续问题探讨奠定了基础。问题（2）的难度有所提高，为部分优秀学生提供了展示的平台，有助于学生在深入探索情境中发现更加深刻的數学知识. 这样的处理方式，能对学生思维的变通性展开有效训练，能让学生以更加灵活的视角研究和分析相应的问题场景，这对学生思维品质的提升大有益处，值得我们在教学实践中大力推广。

很多數学问题都是纯粹的字母或算式，这会给人一种非常抽象的感觉，而且这种过分模型化的问题其实也剥夺了学生展开建模思考的机会. 因此，面对一些问题，教师应该对问题背景进行适当调整，给习题一个更加丰满的情境，这样便可以让数学问题更加有内涵，还能让学生的研究和探索能力因此得到提升.

试题命制是教师非常重要的一项专业素养，但对于教师而言，如果要全新地命制一个数学问题，还是存在一定困难的. 在实际教学中，教师要积极研究已有试题资源的类型和特点，有效联系学生的实际情况和发展需要，发掘相关问题的潜在价值，进而探索问题改编的思路，让问题以更新、更活的形式展现在学生面前，让习题成为学生巩固认识的支架，让习题成为学生推进数学探究的出发点.