试析高中数学中的恒成立问题

吴国连

摘 要：近些年来，随着我国教育体制的深化改革，素质教育的全面推进，传统的教学模式已经无法适应当前的教育需求。为此，如何改变这一现状已经成为教育部分与学校主要面临的问题之一。在这种形势下，怎样有效解决高中数学中恒成立问题是师生共同关注的热点之一，本文章主要针对这一问题进行了深入的分析与研究。

关键词：高中数学;恒成立问题;解析

恒成立问题作为高中数学学习中的重要构成部分之一，其相关内容的学习与问题的解答长久以来都是学生学习数学中的重点与难点，同时也是数学高考题目中的必考问题之一。为此，如何通过科学高效的方法来快速、准确的解决之一问题已经成为高中生不断探究的问题之一。为此，下述内容主要针对恒成立的概念、类型与学习方法进行了详细的叙述。

1.恒成立的基本概念

恒成立主要是在包含有两个或者是两个以上未知数取值关于方程或不等式的解或解集无影响的式子基础上，寻找未知数的取值范围或解集。

2.高中数学中恒成立的基本类型

2.1类型1

一次函数型：其具体是指在某一个变化过程当中，分别设两个变量x与y，若二者如果满足y=kx+b（其中，k为一次项系数，且k≠0，b指任意常数）这一关系，那么就可以认为y是x的一次函数。其中x为自变量，y为因变量（又被称作函数）。

2.2类型2

二次函数型：在一般情况下，经常将形如y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）这种函数称为二次函数。其中，a为二次项系数，b具体是指一次项系数，c被称为常数项。X与y分别为自变量与因变量。同时，等号右边自变量的最高次数为2。

2.3类型3

变量分离型：该类型主要是将一个方程中的含有各个变量项相互分离出俩，从而将原有方程拆分成多个简单，且只包含一个自变量的常微分方程。通过线性叠加原理来把非齐次方程拆合理拆分成多个齐次方程或者是便于求解的方程。再应用高数知识与级数求解知识来找出多种巧妙的解题方法，并求出每一个方程的通解，最后将通解合理“组装起来”。

3.高中数学中恒成立问题的解析

3.1定义域中恒成立问题解析

例题：已知f（x）的定义域为[-2，3]，求取函数F（x）=f（x）-f（-x）的定义域。这种类型的试题是较为典型的定义域恒成立问题，在解答这种类型题的过程中，大部分情况下要先从其自身的定义域开始入手，通过-2<=x<=3，学生能力推理出f（-x）中，-2<=-x<=3，要想确保该例题中f（x）与f（-x）共同成立，就要求-2<=x<=2，为此，可以得出统一的结论，F（x）的定义域为[-2，2]。

针对定义域中恒成立这一问题来说，其难度系数均较为简单。为此，教师在教学的过程中，首先要让学生熟练掌握函数定义域的具体含义，并从其入手，明确函数对各个条件起到的限制作用，以此来准确的判断出函数具体的定义域范围。近些年来，定义域恒成立这一问题在高考数学命题中所占的比重在逐年增加，同时也会将更加复杂的知识穿插其中。学生在解析这类问题时一定要保持沉着冷静，从已知的实际条件出发，明确多个条件的限制，最后求取出正确的取值范围。

3.2不等式中恒成立问题解析

在高中数学恒成立问题中，不等式恒成立问题的出题率较高，出题次数较为频繁。例题：一元二次不等式f（x）=ax2+（2a-4）x+3-a>0，求取出这一不等式中函数x的取值范围，并满足不等式的成立条件？在解题这种一元二次不等式方程期间。首先，教师要要求学生灵活掌握与应用一元一次函数与一元二次函数的相关知识，在明确a=0的情况下，不等式会由一个一元二次不等式转化成一个一元一次不等式，但根据题目中给出的要求，将不等式转化为一个一元二次不等式。为此，学生要想从根本上保证该不等式的成立，首要明确的问题就是a≠0。其次，学生在求取取值范围时要反其道而行，先把传统变量x与常数a的身份进行顺利的转化，把a当作变量，把x当作常量，并要同时设g（a）=（x2+2x-1）a-4x+3，此时，a就在[-1，1]这一区间内，在此基础上，学生就可以推动出，若x的取值范围在[-1，1]之间，就可以保证一元二次不等式f（x）=ax2+（2a-4）x+3-a>0的成立。

学生在求解这一类型的恒成立问题中，实现要熟练掌握传统变量与常量之间的灵活转换，并准确求取出其子变量函数的具体取值范围，进而对变量的具体取值范围进行推断。通过这种解题思路与解题方式，不仅可以大大降低不等式中恒成立问题的求解难度，同时也可以进一步提高学生计算取值范围的准确度。为此，该种解题方式应该得到教师与学生广泛的推广与应用。

总结：总而言之，恒成立作为一种综合性较强，内容较为复杂的高中数学问题之一，学生通过单一的解题思路与方法是无法进行解决的。为此，教师在日常关于恒成立问题的教学过程中，要充分重视学生思维的训练与培养，通过多样化的练习方法来不断纠正学生单一的解题思维，帮助学生深入挖掘恒成立问题与特定数学思想方法之间某种特点的练习，以此来实现举一反三，大大提高学生解决恒成立问题的正确率。

参考文献

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[2]夏炳文.缩小参数范围优化“恒成立问题”的处理[J].中学数学教学.2016（01）

[3]毛晓娜.例谈“不等式恒成立问题”的几种优化处理方式[J].中学教研（数学）.2018（04）