巧用三角函数计算不定积分

刘伟彦 殷子超 尹逊汝

【摘要】不定积分的计算是高等数学中的一个重要内容。本文给出几种巧用三角函数关系计算不定积分的方法。

【关键词】不定积分;三角函数;三角代换

1引言

不定积分是数学中的有力工具，其重要性不言而喻。计算不定积分的方法不胜枚举，而有些不定积分的计算，如果采用的方法得当，将会变得更为简便。三角函数拥有特殊的性质与关系，利用其特殊关系，也会使计算不定积分更加便捷。

2巧用三角函數计算不定积分

下面给出利用三角函数的关系计算不定积分的几种方法。

2.1切割化弦

基本积分表中没有切割函数的不定积分公式，但有正弦函数和余弦函数的原函数，因此，可利用切割化弦的方法来计算切割函数的不定积分。

例1 求。

解：

例2 求。

切割化弦是解决有关三角函数问题的常用技巧，如果看到切割函数而没有明确的思路的话，不妨试一试切割化弦，往往会使问题迎刃而解。

2.2导数关系

可以利用同角三角函数之间的导数关系，如 等和第一换元积分法（凑微分法）结合来计算某些三角函数的不定积分。

例3  求。

例4求。

例5求。

2.3平方关系

利用同角三角函数之间的平方关系，如，再结合其它方法来计算不定积分。

例6 求。

例7求。

2.4倍角公式

利用二倍角公式，化简被积函数，再计算不定积分。

例8 求。

例9求。

这两个例题中的不定积分可以通过应用二倍角公式，使问题简化 。三角函数公式的正用逆用熟练掌握后，可以发现，三角函数的灵活性是不可比拟的。

例10 求。

解：（法一） 凑微分

（法二 ）积化和差

2.5万能公式

当被积函数是三角有理式时，可以尝试万能公式代换，往往会有效果。

例11求。

3结语

三角函数公式繁多，三角函数的性质与关系非常特殊，使用起来也极其方便，三角函数的灵活性是不可替代的，利用三角函数的灵活性可以大大简化不定积分的计算。因此，熟练掌握三角函数的公式是重中之重，是大前提。其次，不定积分重在方法，妙在思路，当我们第一次遇到某些题型时，苦苦思索却无从下手，想尽一切办法搞明白时，却发现那些思路是多么精妙。在我们伸颈、侧目、微笑、默叹、以为妙绝之余，我们也不断积累了方法技巧，逐步打破瓶颈。但这些思路不是凭空想出的，而是通过练习不断积累的，熟练掌握公式并不断积累，对于不定积分的学习而言必将大有裨益。

致谢

本论文得到泰山学院教学改革项目201837，201809及项目2019HX246与2019HX247的资助。

参考文献

[1] 华东师范大学数学科学学院.数学分析第五版（上册）[M].北京：高等教育出版社，2019.

[2] 刘琳.求不定积分几种常用方法[J]，科技经济导刊，2019（27）：141-142.

[3]范君好，定积分计算中的技巧分析[J]，桂林师范高等专科学校学报，2015（29）：176-179.

[4]金顺利，杨世民，关于不定积分的一题多解[J]，沧州师范专科学校学报，2001（03）：35-36.