高等数学课程的难点分析

胡晓敏 陈建兰 覃森

摘要：通过对高等数学课程的难点分析，有效地培养学生的逻辑推理能力，提高学生们发现问题、分析问题和解决问题的能力。

关键词：高等数学;难点分析;技巧

一、引言

高等数学是大学理工科各专业的重要基础课，是考研必考的重要课程之一，也是大学后续课程的基础。高等数学的内容，已深入渗透至许多数学分支，并在诸多自然学科有广泛应用。高等数学的理论有三百多年的历史，理论深;高等数学的方法涵盖了单变量和多变量的连续变量的微积分，方法杂;高等数学的方法已经应用到经济、金融、工程，电子等各个领域，应用广;高等数学中的难点多，它是本科学生最难学的一门课程。如何让学生很好地领会高等数学的精神和实质，需要科学地教授高等数学，如何科学地教授高等数学，需要很好地研究和剖析高等数学中的各个难点。下面通过剖析高等数学的難点（知识点），科学地讲授该课程，有效地培养学生的逻辑推理能力，提高考研升学率，提高学生们发现问题、分析问题和决问题的能力，为各行各业培养出更优秀的人才。

二、难点知识点分析

（1）一元函数求极限的技巧

一元函数的极限，首先需掌握相关的重要定理、公式和结论。如常用的洛必达法则、

等价无穷小替换、夹逼准则、单调有界数列必有极限等。但做题还是要考察极限的特点，找到合适的方法，正确快速的解题。如求.虽然极限符合洛必达的条件，但此题用等价无穷小的替换简单;而，则要分解成两项（不能直接用洛必达法则），，第一项用洛必达法则，第二项结合第一项用无穷小与有界函数的积仍是无穷小的性质。另外，当时，求含有等的极限式，要考虑0点处的左右极限，当左右极限相等时，极限存在，否则不存在。

（2）一元函数利用定义求导数的技巧。一元函数的导数定义，因此实际上归结为求极限问题。导数的定义常用在分段函数分界点处求导及抽象函数的导数问题。

（3）一元函数闭区间上连续函数性质的运用技巧。如根的存在问题，需要分析题意，作出相应的辅助函数（如移项，方程右边为0）及区间，考察性质的条件并运用。

（4）一元抽象复合函数的高阶导数的求解技巧。利用复合函数求导的“链式法则”，求高阶导数时要分清每次求导自变量与中间变量的关系，低阶导数中的复合函数的中间变量。如二阶可导，则，注意仍是复合函数。

（5）线性微分方程解的求解技巧。确定方程的阶数，并利用相应的解的结构（或公式）求解;或通过变量代换（含自变量与因变量互换）、常数变易法求解。

（6）二重极限的求解方法。需正确理解的含义：指平面上点以任何方式、任何方向、任何路径趋于，比一元函数的极限复杂，但仍常用一元函数求极限的公式或法则;判别二元函数极限不存在的方法：一是当动点以两种不同的路径如或（）（其中为分子最低次项幂）趋于时，函数趋于不同的极限值;二是选取一种方式或路径动点按此方式或路径趋于时，函数的极限不存在。

（7）多元复合函数的高阶导数的求解技巧。类似一元复合函数求导的“链式法则”，求高阶导数时仍要分清函数、中间变量与自变量之间的关系，低阶偏导中有复合函数，仍需利用复合函数的“链式法则”的求偏导。

（8）隐函数的求导技巧。关键弄清哪些是自变量，哪些是因变量。一阶偏导可利用直接求导法、公式法或全微分法。对由方程组确定的隐函数，其一阶偏导计算可用直接求导法。

（9）二重积分的计算技巧。关键画出积分区域，确定用直角坐标还是极坐标。直角坐标需确定为X型区域还是Y型区域，然后化为二次积分计算。对应个别被积函数可能需要交换积分次序等方法来计算。区域与圆域有关，一般用极坐标。

（10）曲线积分的求解技巧。分清是平面曲线还是空间曲线、对弧长的曲线积分还是对坐标的曲线积分，然后利用定理、公式（如格林公式）、结论或路径的对称性、轮换对称性、被积函数的奇偶性、路径的表达式等方法来求解。

（11）曲面积分的求解技巧。分清是对面积的曲面积分还是对坐标的曲面积分，然后利用定理、高斯公式、或两类曲面积分的关系、投影法、对称性、曲面的表达式等来求解。

（12）格林公式的运用和求解技巧。曲线积分利用格林公式，要明确公式的条件与结论。先计算，再观察路径L是否为闭？如若路径L不闭，但，说明积分与路径无关。此时设路径L：起点，终点，积分可按平行于坐标轴的路径计算，即。

（13）高斯公式的运用和求解技巧。高斯公式。为闭，一阶连续偏导。因此利用高斯公式时，要注意高斯公式的条件，如不闭，要加面使其封闭，加面尽可能为坐标面或平面，使其计算简单。

（14）无穷级数收敛的判别方法。根据无穷级数的收敛定义与性质，先观察（容易观察）通项极限（）是否为0，若不为0或不存在，则此级数发散。如，通项极限（）为2/3，故此级数发散。若是正项级数，则用正项级数的判别法判别其敛散性;若是任意项级数（含交错级数），先通项加绝对值后化为正项级数，用正项级数的比值法判别其敛散性，若收敛则绝对收敛，若发散，则发散;比值法失效时，用比较判别法判。若都无法判定时，观察原级数是否可用交错级数，考虑莱布尼茨判别法;或级数敛散性的定义、性质。如，利用级数的敛散性质，可知其为发散级数。

（15）（）傅里叶级数和函数的求解方法。画的图形，在满足收敛准则的条件下，其傅里叶级数和函数：

三、结束语

通过对高等数学中的几个关键的知识点难点分析，让教师易教，学生易懂易学，但“教学有法，教无定法”，这只是我们的挫见，还需要向专家、其他老师学习，完善与提高相关研究，以提高学习效果和教学质量。

参考文献：

[1]孟献青，几类常见函数的极限计算方法[J].山西大同大学学报（自然科学版），Vol.36.No.6Dec2020，33-36.

[2]陈建兰，胡晓敏.高等数学D2翻转课堂的教学设计[J]，东方教育，2018年2月下（总第150期），22-.

[3]陈文登主编，考研数学核心题型[M].北京航空航天大学出版社出版.2010.

基金资助：杭州电子科技大学高等教学改革项目（YBJG202051）。

作者简介：胡晓敏（1968.04-），女，浙江省象山人，教授，研究生学历，研究方向：应用数学。

（杭州电子科技大学 理学院 浙江杭州 310018）