换元法在初中数学解题中的应用

赖振华

摘 要：换元法是初中数学解题中最为重要的、常见的方法，巧妙借助换元法对初中数学问题进行转化和化归等，进而使得问题解答更加简单明了.本论文以初中数学为研究对象，对换元法在初中数学解题中具体应用进行了详细的研究和分析.

关键词：初中数学;换元法;解题;应用

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2020）17-0013-02

在初中数学新课程标准中明确提出，初中数学的学习首要目标就要求学生在学习的过程中，获得必备的数学基础知识、数学基本技能等，并对最基本的数学概念、数学结论的本质等进行理解，进而充分体会初中数学中所蕴含的数学思想和数学方法等.因此，在初中数学教学中，必须要充分借助“换元法”以提升学生的解题效率.

一、换元法概述

换元法又称之为辅助元素法、变量代换法，主要是将某一个式子看做成一个整体，并用另一个变量去代替它.换元的实质就是转化，是用一种变数形式对另一种变数的形式进行取代，进而使得问题得到了有效的简化.可以说，在使用换元法这一方法对初中数学问题进行解答的时候，其关键就在于合适地选择出“新元”，并将其引入到数学问题中进行适当的代换，进而找到数学问题的解题思路.

具体来说，在使用换元法解决数学问题的时候，其解题的步骤就是：换元——求解——回代——检验.具体来说，最为基本的换元方法主要有三种：（1）局部换元：又被称之为整体换元.主要是在已知或者未知的过程中，某一个代数式出现了几次.在解题的时候，就可以利用某一个字母对其进行代替，进而将数学问题进行简化.甚至有的时候，在进行局部换元的时候，必须要将数学问题进行变形之后，才能借助这一方式进行解决.例如，在解不等式：4x+2x-2≥0的时候，就可以采用局部换元的形式进行，先设2x=t（t>0），在这种情况下，就可以将不等式进行简化，进而使得学生更加方便求解. （2）三角换元：该换元方法主要应用在去根号、变换为三角形式进行求解的过程中，在进行换元的时候，主要是利用已知代数式中与三角知识中的联系点进行换元.例如，在求函数y=x+1-x的值域的时候，学生在对其进行解决的时候，就可以借助三角换元的形式，将这一函数进行转化，使其成为学生熟悉的三角函数问题.学生在对本道题进行分析的时候，发现x∈[0，1]，随之就可以将其与三角函数进行联系，设x=sin2α，α∈（0，π/2）.通过换元转化，复杂的函数问题瞬间就变得简单了，更加易于学生求解.（3）均值换元：主要是在对某些数学问题进行解答的过程中，两个未知量的和是已知，这种时候在对其进行解答的过程中，就可以将这两个未知量用他们的均值、一个新的变量进行表示，进而将复杂的数学问题变得更加简单.例如，在求解x+y=S类型的数学问题时，就可以采用均值换元的方式，设x=S/2+t，y=S/2-t之后再对数学问题进行解答.

总而言之，在对数学问题进行解决的过程中，换元法是最为常用的数学解题方式.通过换元法的应用，使得整个数学运算更加简便，进一步提升了学生的解题效率.

二、换元法在初中数学解题中的具体应用

1.在因式分解中的应用

在初中数学知识体系中，多项式的因式分解历来是教學、考试的重点.就因式分解这一部分的内容来说，虽然总体难度不是特别大，但是涉及到的基础知识却非常多.例如：加减乘除、平方、代数式等，学生在进行该部分数学问题的解决过程中，必须要对因式分解与整式乘法之间的关系，并对新旧知识之间的比较进行探索，进而掌握因式分解的主要方法.

而在进行因式分解问题解答的过程中，换元法则是学生最为常用的方法，并深得学生的青睐.具体来说，换元法在因式分解中应用的时候，首先应将原代数式中的某个部分，用新元对其进行代替，以达到减少因式项数的目的，进而使得问题变得更加简单.

例如，在解方程1x2+4x+6+1x2+4x-10+1x2+4x+16=0的时候，就可以采用换元法的方式，设x2+4x-10=t，则该因式就会变为1t+16+1t+1t+26=0，在这种情况下，这一复杂的数学问题就变得更加简单，便于了学生的解决.

2.在解方程组问题中的应用

方程组也是初中数学中最为重要的内容，在对这部分数学问题进行解答的时候，学生只有明确找出未知条件、已知条件两者的关系，或者将方程组中所隐蔽的已知条件之间的关系进行明确的时候，才能将新知识进行转化，使其成为旧知识，进而对其进行有效的解决.而在这一过程中，则离不开换元法的应用.

例如，在对2x2-6x-1+3x2-3x+2=0这一方程进行解答的时候，多数学生都对其无从下手.面对这一情况，就可以引导学生采用换元的方式进行解答，将这一无理方程进行转化，促使其成为有理方程.具体来说，在换元的时候，可设x2-3x+2=y，通过这一换元，整个方程式就变为2y2+3y-5=0，进而学生就可以充分借助所学的旧知识对其进行求解.

3.在整式运算中的应用

在初中数学学习中，整式运算是学生最为常见的运算问题，同时整式运算也相对比较复杂.许多学生面对这一问题，常常无从下手，不知道如何对其进行解决.据此，教师在引导学生对其进行解答的时候，可充分借助换元法的形式，将相同的部分看做一个整体，并利用新元对其进行替代，进而这一复杂的问题进行转换，使其成为一个简单的数学问题.

例如，在对（1-2-3-…-998）（2+3+4+…+999）-（1-2-3-…-999）（2+3+4+…+998）这一整式进行运算的时候，就可以充分借助换元法，将（2+3+4+…+999）设置为a，将（2+3+4+…+998）设为b，那么该整式运算就会简化为（1-b）a-（1-a）b，进而使得整个整式运算更加简单.

综上所述，在初中数学学习中，学生经常会遇到比较复杂的数学问题，如果直接按照原始的方式对其进行求解，不仅使得数学问题变得十分棘手，并且致使学生在对数学问题进行解决的过程中，常常出现无从下手、频频出现错误等现象.因此，在指导学生对这些数学问题进行解决的过程中，就可以引导学生充分借助换元法的方式，将复杂的数学问题进行简化，进而促使学生对其进行顺利解决.

参考文献：

[1]卢春松.浅析换元法在初中数学解题中的应用[J].数理化学习（初中版），2014（10）：72+74.

[2]刘道明.换元法在初中数学解题中的探究[J].数理化解题研究（初中版），2013（12）：17-17.

[3]李素珍.换元法在中学数学解题中应用[J].信息教研周刊，2014（6）：60-61.

[责任编辑：李 璟]