对称式、交代式、齐次式、轮换式在初中数学中的应用

杨龙田

摘 要：掌握对称式、交代式、齐次式、轮换式在七年级数学中的整式乘法、因式分解、分式中的应用技巧，使得解这类题更加简便.给出若干用对称式、交代式、齐次式、轮换式解不等式，意在锻炼思维.

关键词：对称式;交代式;齐次式;轮换式;初一数学;解题技巧

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2020）17-0005-03

一、基础概念说明

1.对称式

一个n元代数式如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，那么，就称这个代数式为n元对称式，简称对称式.例如：

x+y，xy，x+yxy，x2+y2+z2，xy+yz+zx都是对称式.

2.齐次式

一个n元多项式的各项的次数均等于同一个常数r，那么称这个多项式为n元r次齐次多项式.例如，

含三個字母的三元一次齐对称式为：A（x+y+z）;

含三个字母的三元二次齐对称式为：A（x2+y2+z2）+b（xy+yz+zx）;

含三个字母的三元三次齐对称式为：

a（x3+y3+z3）+b（x2y+x2z+y2x+y2z+z2x+z2y）+cxyz.

3.交代式（多见于因式分解）

一个n元代数式如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，那么就称这个代数式为n元交代式.例如，

x-y，（x-y）（y-z）（z-x），x-yx+y均是交代式.

4.轮换式

一个多项式含有x、y、z，如果用x替换y，y替换z，z替换x，得到的代数式与原来的代数式还相等，那么称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式.显然，对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式.例如，a（x2+y2+z2）是对称式也是轮换式;b（x2y+y2z+z2x）是轮换式，但不是对称式.

二、运用示例

对称式、交代式、齐次式、轮换式在初中数学中的应用主要是涉及整式乘法、因式分解、分式这三个模块.掌握对称式、交代式、齐次式、轮换式在七年级数学中的整式乘法、因式分解、分式，使得解这类题更加简便.在有关不等式中的应用属于较高要求.

1.在整式乘法中的运用

例1计算：a+b+c3.

分析 a+b+c3是一个三次齐次的对称式，则展开式是含字母a ，b ，c的三次齐次的对称式，其同型式的系数相等，可用待定系数法.

解 设（a+b+c）3=m（a3+b3+c3）+n（a2b+a2c+b2c+b2a+c2a+c2b）+pabc（m、n、p是待定系数）.

令a=1，b=0，c=0.比较左右两边系数得m=1;

令a=1，b=1，c=0比较左右两边系数得2m+2n=8;

令a=1，b=1，c=1比较左右两边系数得3m+6n+p=27.

点评 这道题如果使用整式乘法法则计算，会比较复杂，但是在掌握了齐次式的概念，就能知道该式子展开是什么类型，不能确定的就是系数，因此利用待定系数法，就可快速求得结果.

例2 计算（xy+yz+zx）（1x+1y+1z）-xyz（1x2+1y2+1z2）.

分析 ∵（xy+yz+zx）（1x+1y+1z）是关于x，y，z的轮换式，在乘法展开时，只要用xy分别乘以1x，1y，1z连同它的同型式一齐写下.

解 原式=

（y+x+xyz）+

（z+x+xzy）+

（x+y+xyz）-（xyz+xzy+xyz）=2x+2y+2z.

点评 两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）.

2.在因式分解中的运用

由前面的基本概念，类似于x-y，（x-y）（y-z）（z-x），

x-yx+y均是交代式.

基本规律：两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）.故：轮换式的因式分解结果仍是轮换式，交代式的因式分解结果一般是交代式和轮换式的乘积.交代式一般仅在因式分解当中有所考察.

例3 分解因式：（b-c）3+（c-a）3+（a-b）3.

分析 原式多项式是轮换式，则因式分解的结果还是一个轮换式.利用因式定理可发现，当a=b时，多项式值为零，因此，分解过后的式子肯定含有a-b，则同时含有b-c和c-a，这时候只要确定系数即可.

解 设（b-c）3+（c-a）3+（a-b）3=k（a-b）（b-c）（c-a），令a=2，b=1，c=a得k=3.故：（b-c）3+（c-a）3+（a-b）3=3（a-b）（b-c）（c-a）.

点评 这道题关键点是运用因式定理，但是对称式、交代式、齐次式、轮换式的知识会在当中起到辅助的作用.另外，要注意的是，这道题分解的结果并不是简单的（a-b）（b-c）（c-a）相乘，前面还有系数.

变式 因式分解：a3（b-c）+b3（c-a）+c3（a-b）.

解 ∵当a=b时，a3（b-c）+b3（c-a）+c3（a-b）=0，

∴有因式a-b及其同型式b-c，c-a.

∵原式是四次齐次轮换式，除以三次齐次轮换式（a-b）（b-c）（c-a），可得一次齐次的轮换式a+b+c.

用待定系数法：

得a3（b-c）+b3（c-a）+c3（a-b）=-（a+b+c）（a-b）（b-c）（c-a）.

例4 因式分解：x3-y3.

分析 x3-y3是一个三次齐次交代式，则因式分解的结果是奇数个交代式与若干个对称式相乘.而利用因式定理可知，x3-y3因式分解的结果含有一个x-y，剩下的就是一个二次对称式了，设该二次对称式为m（x2+y2）=kxy，易知m=1，只要确定k即可.

解 设x3-y3=（x-y）（x2+kxy+y2），当x=1，y=-1时，解得k=1，故x3-y3=（x-y）（x2+xy+y2）.

点评 x3-y3是一个交代式，则x3-y3的分解结果会含有交代式和轮换式，当x=y时，原代数式为0，故x3-y3含有因式x-y，这个刚好是交代式，剩下一个次数是2的轮换式.

例5 因式分解：x3+y3+z3-3xyz.

分析 x3+y3+z3-3xyz

是一个对称式，当x+y+z=0时，原式为0，故x3+y3+z3-3xyz因式分解含有x+y+z，而x3+y3+z3是一个三次齐次轮换式，则分解后剩下的部分是二次齐次轮换式，可设为：A（x2+y2+z2）+B（xy+yz+zx）.

解 x3+y3+z3-3xyz=（x+y+z）[A（x2+y2+z2）+B（xy+yz+zx）]，利用待定系数法求得A=1，B=-1.故x3+y3+z3-3xyz=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-zx）.

点评 一次齐次的轮换式形如：A（x+y+z），二次齐次的轮换式形如：A（x2+y2+z2）+B（xy+yz+zx）.

3.在分式中的运用

对称式、交代式、齐次式、轮换式在此模块中的核心解题技巧是：

（1）若含有x、y、z的代数式是对称式，则在解题中可设x≤y≤z;

（2）若含有x、y、z的代数式是轮换式，且x，y满足性质p，则x，z;y，z也满足性质p;

例6 已知a、b、c是互不相等的正整数时，求证：1-a+b+cabc≥0.

分析 1-a+b+cabc=

12-1ab+13-1ac+16

-1bc.由于a+b+cabc是一个对称式，故设1≤a<b<c，当a=1，b=2，c=3取极端情况.这时即可证明1-a+b+cabc≥0.

解 1-a+b+cabc=

12-1ab+13-1ac+16

-1bc.设1≤a<b<c，则12-1ab≥0，13-1ac≥0，16-1bc≥0，则1-a+b+cabc≥0.

点评 这题关键点是在于明白

a+b+cabc是一个对称式，进而设1≤a<b<c，故对称式的相关概念及运用在此类题目解题过程中起到关键作用.

例7 已知实数a、b、c满足

abc=1，a+b+c=4，

aa2-3a-1+bb2-3b-1+cc2-3c-1=1，求a2+b2-c2的值.

分析 题目当中出现的所有式子都是对称式，因此这道题解题过程中，必然对某种相似的部分做同种处理，例如若对aa2-3a-1

进行变形，必然要同时对bb2-3b-1、cc2-3c-1进行相同形式变形，三式综合，可得到某种结果.一般情况下，具体如何变形没有定论，还是要进行尝试.当了解对称式、交代式、齐次式、轮换式的基本概念和性质时，它能提供的方向就是某些相同部分使用同一种变形方式.

解 由题得：1a=-bc，a=4-b-c，对于aa2-3a-1=1

a-3-1a=1bc-b-c+1=1（b-1）（c-1）.

类似的：bb2-3b-1=1（c-1）（a-1），cc2-3c-1=1（a-1）（b-1）.

三式相加得：aa2-3a-1+bb2-3b-1+cc2-3c-1=1（b-1）（c-1）+1（c-1）（a-1）+1（a-1）（b-1）=a+b+c-3（a-1）（b-1）（c-1）=1（a-1）（b-1）（c-1）=1.

所以：（a-1）（b-1）（c-1）=abc-（ab+bc+ca）+（a+b+c）-1=1，得：ab+bc+ca=1，所以：a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+bc+ca）=14.

點评 这道题难度大，对称式、交代式、齐次式、轮换式的存在提供了一个解题方向：对三个式子进行相同的处理.这就是对称式、交代式、齐次式、轮换式存在的意义.

例8 已知：1x+1y+z=12，1y+1z+x=13，1z+1x+y=14，求2x+3y+4z的值.

分析 这道题条件中的代数式是三个轮换式，而且条件是三个等式，这里处理的方式即是对三个等式进行相同的变化.

解 1x+1y+z=x+y+zx（y+z）=122x=y+zx+y+z.

类似的：3y=z+xx+y+z，4z=x+yx+y+z，三式相加得：2x+3y+4z=2.

点评 该题在解题过程中，条件中三个等式都进行了同种变化，变化时是在考虑如何凑出2x+3y+4z

，最后再将三个式子进行相加，即可得出最终结果.分式这块很多题都有这类特点.

例9 已知aba+b=115，bcb+c=117，cac+a=116，求abcab+bc+ac的值.

分析 典型的轮换式，对条件的三个式子同时取倒数即可.

解 由aba+b=115可得：a+bab=1a+1b=15，同理：1b+1c=17，1a

+1c=16.三式相加得：1a+1b+1c=24，故abcab+bc+ac=124.

点评 此题对于条件的变化方式还是相同：取倒数.变化后的式子依然是相加得到所需结果.

例10 设x、y、z是三个互不相等的数，且x+1y=y+1z=z+1x，则xyz=.

分析 条件是一个连等轮换式，一般这种式子的处理方式是：转化成x+1y=y+1z、x+1y=z+1x、y+1z=z+1x，对这三个式子进行同种变化，再把得到三个式子相乘或者相加.

解 由x+1y=y+1z得：zy=y-zx-y.类似的：zx=z-xy-z，xy=x-yz-x.

三式相乘得：x2y2z2=1，故xyz=±1.

点评&nbsp;此题条件是连等式，解决方式则是将连等式转化成三个等式.前提条件是准备认识到题目条件给出的是轮换式.难点在于三个等式的变化方式.因此，在理解“轮换式”的基础上，还是要进行一些尝试，才能得到最终的解题方式.

4.在有关不等式中的应用

例11 （2019高考数学全国1卷第23题[选修4-5：不等式选讲]）已知a、b、c为正数，且满足abc=1.证明：（1）1a+1b+1c≤a2+b2+c2;

（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24.

分析 第（1）問是一个明显的对称式，第二问是一个明显的轮换式.第一问只要将分子1换成abc，然后移项配方就可以做出来;第2问要用到均值不等式.

解 （1）abca+abcb+abcc≤a2+b2+c2

a2+b2+c2-ab-ac-bc≥0

12[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]≥0，则原不等式成立.

（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）（b+c）（c+a）≥3·2ab·2bc·2ac=24.

点评 对称式、交代式、齐次式、轮换式给出了一些解题方向，第1问处理方式，第二问部分处理方式.但是重要的还是课内的基础知识，对称式、交代式、齐次式、轮换式能算得上“锦上添花”.第2问要用到均值不等式的延伸：a3+b3+c3≥3abc.

以上例题还存在片面性，对称式、交代式、齐次式、轮换式一般出现在竞赛相关的知识当中，学习这个可以锻炼思维，能够学会从不同角度解决问题，提升思维能力、解题能力.

参考文献：

[1]管皓，秦小林，饶永生等.动态数学数字资源开放平台的研究与设计[J].哈尔滨工业大学学报，2019，51（5）：14-22.

[2]何苗，孙蓓蓓.识别动力减振镗杆主系统等效参数的数学计算方法[J].振动与冲击，2019，38（6）：194-198，244.

[责任编辑：李 璟]