微专题之三次函数

摘 要：三次函数是重要的一类函数，以其为载体考查考生的数形结合能力，推理论证能力.对三次函数的相关知识点以及题型作出归纳，提高复习备考效益，提高数学核心素养.

关键词：三次函数;复习备考;数学核心素养

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2020）22-0016-04

三次函数是一类重要的函数，以三次函数为载体的试题经常出现在高考以及各级各类高三综合卷当中，内容主要涉及借助导数研究三次函数的图象，性质等等.

一、知识点

设三次函数为f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a≠0，x∈R.f ′（x）=3ax2+2bx+c，为二次函数.令Δ=b2-4ac.

1.图象及其单调性

当a>0时，若Δ≤0，则f（x）在R上单调递增，无极值.若Δ>0，则令f ′（x）=3ax2+2bx+c=0，解得极值点为x1，x2（设x1<x2），则f（x）在（-∞，x1）上单调递增，在（x1，x2）单调递减，在（x2，+∞）单调递增，极大值为f（x1），极小值为f（x2）.

当a<0时，若Δ≤0，则f（x）在R上单调递减，无极值;若Δ>0，则令f ′（x）=3ax2+2bx+c=0，解得极值点为x1，x2（设x1<x2），则f（x）在（-∞，x1）上单调递减，在（x1，x2）单调递增，在（x2，+∞）单调递减，极小值为f（x1），极大值为f（x2）.

2.一个重要结论

若三次函数有极值，则必有一个极大值，一个极小值Δ>0.

3.对称中心

任何三次函数都有对称中心，且对称中心在图象上.若三次函数有极值，则两个极值点关于对称中心是对称的.三次函数的对称中心坐标为（-b3a，f（-b3a））.二、应用

题型1：三次函数的零点问题

此类题型主要以三次函数为载体，告知零点情况，求参数的值或者取值范围，需要借助导数运算考查其单调性，结合题意求解，往往伴随着对参数的分类讨论.

例1 （2018年江苏卷第11题）

若函数f（x）=2x3-ax2+1（a∈R）在（0，+∞）內有且只有一个零点，则f（x）在-1，1上的最大值与最小值的和为.

解析 显然f（0）=1.f ′（x）=6x2-2ax=2x（3x-a）.

令f ′（x）=0得x1=0，x2=a3.

若a=0，则f ′（x）≥0，f（x）在R上单调递增.故当x∈（0，+∞）时f（x）>1.此时f（x）在（0，+∞）上无零点.

若a<0，则x2<x1，f（x）在（0，+∞）上单调递增.故当x∈（0，+∞）时f（x）>1.此时f（x）在（0，+∞）上无零点.

若a>0，则x2>x1，f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，a3）上单调递减，在（a3，+∞）上单调递增.由已知有f（a3）=0，解得a=3.

此时数f（x）=2x3-3x2+1，在-1，1上的最大值与最小值的和为分f（-1）+f（0）=-4+1=-3.

例2 （2014年新课标全国Ⅰ卷第11题）

已知函数f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是.

解析 显然f（0）=1.f ′（x）=3ax2-6x=3x（ax-2）.

令f ′（x）=0得x1=0，x2=2a.

若a<0，则x2<x1，f（x）在（-∞，2a）上单调递减，在（2a，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减.由已知有f（2a）>0，解得a<-2.

若a>0，则x2>x1，f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，2a）上单调递减，在（2a，+∞）上单调递增.此时f（x）在（-∞，0）上存在零点，不符合题意.

综上，a<-2.

题型2：三次函数的图象问题

此类题型经常需要画出三次函数的图象，结合图象进行求解，主要考查考生的数形结合能力，推理论证能力.

例3 （2015年安徽卷第15题）

设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数.下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（1）a=-3，b=-3;（2）a=-3，b=2;（3）a=-3，b>2;（4）a=0，b=2;（5）a=1，b=2.

解析 对于（3），当a=-3，b>2时，有x3-3x+b=0.

设f（x）=x3-3x+b，令f ′（x）=3x2-3=0，得x1=-1，x2=1.

易知f（x）在（-∞，-1）上单调递增，在（-1，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增.

f（-1）=2+b>0，f（1）=-2+b>0，如图（1）所示，此时f（x）只有一个零点，符合题意. 图1

可得正确答案是（1），（3），（4），（5）正确.

例4 （2015年湖南卷第15题）

已知函数f（x）=x3，x≤a，x2，x>a，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）-b两个零点，则a的取值范围是.

解析 函数g（x）=f（x）-b两个零点等价于y=f（x）与y=b的图象有两个交点.

图2

画出函数y=f（x）的图象，该图象随着a的变化而变化.如图2所示.易知当0≤a≤1时，不存在直线y=b使得两者的图象有两个交点.因此符合题意的a的取值范围是（-∞，0）∪（1，+∞）.

例5 （2016年北京卷第14题）

设函数f（x）=x3-3x，x≤a，-2x，x>a.

（1）若a=0，则f（x）的最大值为;

（2）若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是.

解析 （1）当a=0，画出f（x）的图象，如图3所示.

图3图4

此时f（x）的最大值为f（-1）=2.

f（x）的图象随着实数a的变化而变化，如图4所示，观察图象的变化可知当a<-1时，f（x）无最大值.

题型3：已知恒成立求参数取值范围

此类题型一般以含参三次函数为载体，告知该三次函数在某个区间上恒大于零或恒小于零，要求参数的取值范围.一般采取分离变量转化为求新函数最值的方法求解.例6 （2014年辽宁卷第11题）

当x∈-2，1时，不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是.

解析 当x=0时，有a∈R.

当x∈[-2，0）时，有a≤1x-4x2-3x3.令t=1x，则t∈（-∞，-12]且a≤t-4t2-3t3.

令g（t）=t-4t2-3t3，只需a≤g（t）min.g′（t）=-9t2-8t+1，令g′（t）=0，得t=-1.

易知当t∈（-∞，-1）时，g（t）单调递减;当t∈（-1，-12）时，g（t）单调递增.

故当t=-1时g（t）有最小值-2，所以a≤-2.

当x∈（0，1]时，有a≥1x-4x2-3x3.令t=1x，则t∈[1，+∞）且a≥t-4t2-3t3.

令g（t）=t-4t2-3t3，只需a≥g（t）max.

由于g′（t）=-9t2-8t+1≤0在t∈[1，+∞）恒成立，

所以g（t）在t∈[1，+∞）上单调递减，故当t=1时g（t）有最大值-6，所以a≥-6.

综上有-6≤a≤-2.

题型4：三次函数的对称性问题

此类题型主要围绕三次函数的对称中心展开试题的命制，需要综合运用导数，不等式等相关知识求解.

例7 函数y=（x+1）3+xx+1与y=-x+b的图象交点的横坐标之和为-2，则b=.

图5解析 令（x+1）3+xx+1=-x+b，则有x3+3x2+4x+1-b=-xx+1.

由于函数y=-xx+1的图象对称中心是（-1，-1），且图象交点的横坐标之和为-2，如图5所示，因此函数y=x3+3x2+4x+1-b的对称中心也是（-1，-1）.故有b=0.

例8 若曲線y=f（x）上存在三点A，B，C，使得AB=BC，则称曲线有“中位点”.现有下列曲线：

（1）y=cosx;

（2）y=1x;

（3）y=x3+x2-2;

（4）y=x3.

其中有中位点的是.

解析 若给出的曲线是中心对称图形且对称中心在图象上，则此曲线一定有中位点，则（1）（3）（4）符合题意.

例9 已知直线l：kx-y-k+1=0与函数f（x）=x3-3x2+2x+1，x≤2，ax-2a+1，x>2的图象交于三点，其横坐标分别是x1，x2，x3.若对任意的0<k<3，x1+x2+x3<3恒成立，则实数a的取值范围是.

解析 对于f（x）=x3-3x2+2x+1，f（x）的对称中心是（1，1），显然直线l过f（x）对称中心.假设其3个交点分别为x1，x2，x4，则有x2=1，x1+x4=2.则必有x3<x4恒成立.

联立y=3x-2，y=x3-3x2+2x+1，解得x4=3，y4=7.则有a≥7-13-2=6.

题型5：三次函数的综合性问题

例10 （2013年安徽卷第10题）

若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是.

解析 由已知有x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两个不同实根.结合题意有f（x）=x1，或者f（x）=x2.问题转化成直线y=x1与y=x2跟y=f（x）图象交点的个数.

若x1>x2，如图6所示，此时有三个交点;若x1<x2，如图7所示，此时有三个交点.

图6图7

因此，不同实根个数是三个.

图8例11 已知函数f（x）=（x-a）3-3x+a（a>0）在-1，b上的值域为-2-2a，0，则b的取值范围是.

解析 对于函数f（x）=（x-a）3-3x+a（a>0），求导f ′（x）=3x2-6ax+3（a2-1），即f ′（x）=3（x-（a+1））（x-（a-1））.令f ′（x）=0，得x1=a-1>-1，x2=a+1>1.

极大值为f（a-1）=2-2a，极小值为f（a+1）=-2-2a.

结合图8可得a-1=0，a=1.

例12 设函数f（x）=13x3-3x2+（8-a）x-5-a，若存在唯一的正整数x0，使得f（x0）<0，则a的取值范围是.

解析 由已知令f（x）<0，得13x3-3x2+8x-5<a（x+1）.

令g（x）=13x3-3x2+8x-5，h（x）=a（x+1），显然直线h（x）过定点（-1，0）.

由题意得存在唯一的正整数x0，使得g（x0）<h（x0）.

g′（x）=x2-6x+8，令g′（x）=0得x1=2，x2=4.

g（0）=-5，g（1）=13，g（2）=53，g（3）=1，g（4）=13，g（5）=53.

图9

如图9所示，画出g（x）和h（x）的图象，可得不等式组g（4）<h（4），g（1）≥h（1），g（2）≥h（2），g（3）≥h（3），g（5）≥h（5）.，解得a∈（115，16].

不难发现，三次函数试题综合性强，融函数，导数，不等式等于一体，能够较好地考查考生的数形结合能力，推理论证能力，计算求解能力，因而备受命题者青睐.在实际解题中，我们要在掌握好三次函数基本知识，基本方法的基础上根据题目条件灵活转化，将未知转向已知，化抽象为具体，化繁为简，从而真正提高解题能力，实现高效复习备考.

参考文献：

[1]苏艺伟.五环节教学，提升习题课品质[J].中国数学教育，2017（09）：22-26.

[责任编辑：李 璟]