例谈三角函数中参数ω、φ的取值范围的求解

谢建宁

摘 要：三角函数是高考考查的必考点，也是热点，其中函数y=Asin（ωx+φ）+B中参数ω、φ的取值范围问题，此类题型常在小题中呈现，有一定难度.本文拟通过若干典型事例来探求、归纳求解此类问题的常规方法.

关键词：三角函数;参数ω;参数φ;取值范围

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2020）22-0042-04

在高三复习中，各级各类模拟试题中经常出现一类求函数y=Asin（ωx+φ）+B的参数ω、φ的取值范围问题，主要考查三角函数知识的应用，以及考查学生逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.此类问题对许多学生是一难点，学生往往无从入手，或者因不明算理而陷入繁琐的运算当中，花费大量时间却不得正解. 本文拟通过归类解析的形式说明这类问题的解法，以期帮助读者理解、掌握其内在规律、特点.

一、和单调性有关的题型

例1 已知ω>0，函数f（x）=sin（ωx+π3）在（π2，π）上单调递减，则ω的取值范围是（）.

A.[13，56] B.[13，76]

C.[14，56]D.[14，76]

解法一 依题可知f（x）的最小正周期T≥2（π-π2）=π，即2πω≥π，从而0<ω≤2.

∵x∈π2，π，

∴ωx+π3∈ωπ2+π3，ωπ+π3.

∵y=sinx（x∈R）的单调递减区间为π2+2kπ，3π2+2kπ（k∈Z），

由ωπ2+π3，ωπ+π3π2，3π2，

得到ωπ2+π3≥π2，ωπ+π3≤3π2.

解得13≤ω≤76.

故选B.

解法二 依题可知f（x）的最小正周期T≥π，即2πω≥π，从而0<ω≤2.

令π2+2kπ≤ωx+π3≤3π2+2kπ，解得π6ω+2kπω≤x≤7π6ω+2kπω，k∈Z.

∵函数f（x）=sin（ωx+π3）（ω>0）在（π2，π）上单调递减，

∴π6ω+2kπω≤π2，7π6ω+2kπω≥π，解得13+4k≤ω≤76+2k，k∈Z.由于0<ω≤2，∴令k=0，可得13≤ω≤76.

故选B.

点评 解法一把ωx+π3看作一整体，则ωx+π3∈ωπ2+π3，ωπ+π3.因为y=sinx在（0，+SymboleB@

）的单调递减区间有π2，3π2，5π2，7π2，…但由于0<ω≤2，则只能有

ωπ2+π3，ωπ+π3π2，3π2，从而求得ω的范围;解法二先求得函数f（x）的单调递减区间π6ω+2kπω，7π6ω+2kπω（k∈Z），再由π2，ππ6ω+2kπω，7π6ω+2kπω，即求得ω的范围.两种解题思路都是利用区间的包含关系来建立不等式，从而求得参数的范围.

反思 三角函数是周期性函数，有无数个单调递减区间，如何选择恰当的区间来套给定区间是解决问题的关键，需要从题中挖掘相关条件，比如：ω的大致范围等.

例2 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，0<φ<π）的一条对称轴与相邻的一个对称中心的距离为π4，将其向右平移π6后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）的图象在区间[3π4，π]上单调递增，则φ的取值范围为（）.

A.π6，π2 B.π3，5π6

C.π3，2π3D.π4，3π4

解 由题意得T4=π4，所以T=π，因此ω=2ππ=2，所以fx=

sin2x+φ.

从而gx=sin2x-π6+φ=sin2x+φ-π3，由-π2+2kπ≤2x+φ-π3≤π2+2kπ，k∈Z，

得-π12-φ2+kπ≤x≤5π12-φ2+kπ，k∈Z.

要使gx的图象在区间3π4，π上单调递增，

则有3π4，π-π12-φ2+kπ，5π12-φ2+kπ，

即有-π12-φ2+kπ≤3π4，5π12-φ2+kπ≥πk∈Z，

解得-5π3+2kπ≤φ≤-7π6+2kπ，k∈Z.

由于0<φ<π，令k=1，可得π3≤φ≤5π6.

故选B.

例3 已知函数f（x）=sin2ωx-23cos2ωx+1（ω>0）在区间[π，2π]内没有极值点，则ω的取值范围为（）.

A.（512，1124]B.（0，512]∪[1124，12）

C.（0，12）D.（0，524]∪[512，1124]

分析 函数f（x）在区间[π，2π]内没有极值点，等价于函数f（x）在区间[π，2π]内单调.

解 函数fx=sin2ωx-23cos2ωx+1ω>0=sin2ωx-23·1+cos2ωx2+1=sin2ωx-3cos2ωx+1-3

=2sin（2ωx-π3）+1-3.

∵f（x）在区间（π，2π）内没有极值点，

∴2kπ-π2≤2ωπ-π3<4ωπ-π3≤2kπ+π2，

或2kπ+π2≤2ωπ-π3<4ωπ-π3≤2kπ+3π2，k∈Z.

解得k-112≤ω≤k2+524，或k+512≤ω≤k2+1124.

又∵f（x）的最小正周期T≥2（2π-π）=2π，從而0<ω≤1.

令k=0，可得ω∈（0，524]∪[512，1124]，故选D.

点评 例3有条件可知f（x）在给定区间严格单调，可以是单调递增，也可以是单调递减.

二、和最值有关的题型

例4 函数f（x）=2sin（ωx+π3）（ω>0）的图象在0，1恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（）.

A.2π，4πB.2π，9π2

C.13π6，25π6D.2π，25π6

解 令ωx+π3=π2+2kπ ， 解得x=（12k+1）π6ω.

当k=0时，x1=π6ω∈0，1得ω≥π6;

当k=1时，x2=13π6ω∈0，1得ω≥136π;

当k=2时，x3=25π6ω∈1，+SymboleB@

得ω<256π.

于是136π≤ω<256π.

故选C.

例5 设函数f（x）=2sinωx在[-π3，π4]上的最小值为-2，则实数ω的取值范围为.

解 若ω>0，则由x∈-π3，π4，得到-ωπ3≤ωx≤ωπ4.

因为f（x）在[-π3，π4]上的最小值为-2，

所以-ωπ3≤-π2，即ω≥32.

若ω<0，则由x∈-π3，π4，得到ωπ4≤ωx≤-ωπ3.因为f（x）在[-π3，π4]上的最小值为-2，

所以ωπ4≤-π2，即ω≤-2.

综上所述，符合条件的ω的取值范围是-SymboleB@

，-2∪32，+SymboleB@

.

点评 此题易忽略对ω两种情形的讨论.

例6 若函数f（x）=sinωx2sin（ωx2+π2）（ω>0）在[-π3，π2]内有且仅有一个最大值，则ω的取值范围是（）.

A.（0，5）B.[1，5）C.（0，92）D.[1，92）

解 ∵函数f（x）=sinωx2sin（ωx2+π2）=sinωx2cosωx2=12sinωxω>0，

∴函数f（x）为奇函数.

∵f（x）在-π3，π2 内有且仅有一个最大值，又-π3<π2，根据对称性可知：

在-π3，π2内，函数f（x）可能仅包含一个极大值点，也可能函数在这个区间上单调递增.

∴ω·π2≥π2，ω·π2<5π2，ω·-π3>-3π2，或ω·π2≤π2，ω·-π3≥-π2.

∴1≤ω<92，或0<ω≤1.

综上可得，0<ω<92

故选C.

点评 我们知道，单调函数在闭区间内必有最大值，所以此题有两种可能，学生往往会忽略第二种可能.

三、和零点或对称性有关的题型

例7 已知函数f（x）=cos（ωx-π3）-12（ω>0）在区间0，π上恰有三个零点，则ω的取值范围是.

解 依题意，令cos（ωx-π3）-12=0，

可得ωx-π3=-π3+2kπ 或 ωx-π3=π3+2kπ（k∈Z），解得x=2kπω 或 x=（23+2k）πω.

当k=0时，得x1=0，x2=2π3ω;

当k=1时，得x3=2πω，x4=8π3ω.

依题可知2πω≤π且8π3ω>π，于是ω的取值范围是2，83.

例8 （2016天津卷（文8））已知函數f（x）=sin2ωx2+12sinωx-12（ω>0），若f（x）在区间π，2π内没有零点，则ω的取值范围是（）.

A.0，18 B.0，14∪58，1

C.0，58D.0，18∪14，58

解 依题可得f（x）=22sin（ωx-π4）且2πω≥2π，即ω≤1.

令ωx-π4=kπ ，解得x=（14+k）πω.

假设f（x）在区间π，2π内有零点，

则有π<（14+k）πω<2π，即k2+18<ω<k+14.

当k=0时，得18<ω<14;

当k=1时，得58<ω<54.

因为f（x）在区间π，2π内没有零点，所以0<ω≤18或14≤ω≤58.选D.

点评 此解法先假设π，2π有零点的ω的范围，从而得出π，2π没有零点ω的范围，正所谓“正难则反”.

例9 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，0<φ<π2），x=-π4为f（x）的零点，x=π4为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（π18，5π36）上单调，则ω的最大值为（）.

A.11B.9C.7D.5

解 ∵x=-π4为f（x）的零点，x=π4为y=f（x）图象的对称轴，∴2n+14·T=π2，即2n+14·2πω=π2（n∈N），

即ω=2n+1（n∈N）.

∵f（x）在（π18，5π36）上单调，则5π36-π18=π12≤T2，即T=2πω≥π6，解得：ω≤12，

当ω=11时，-11π4+φ=kπ，k∈Z，

∵|φ|≤π2，∴φ=-π4.

此时f（x）在（π18，5π36）不单调，不满足题意.

当ω=9时，-9π4+φ=kπ，k∈Z，

∵|φ|≤π2，∴φ=π4.

此时f（x）在（π18，5π36）单调，满足题意.

故ω的最大值为9，选B.

参考文献：

[1]侯作奎.三角函数f（ωx+φ）中ω，φ的取值范围问题[J].高中数学教与学，2015（5）：4-6.

[责任编辑：李 璟]