三角恒等变换的四种常用方法

赵鑫

三角恒等变换在三角函数这一章中有着很重要的地位，在解答三角函数问题时我们常常需要用到各种三角恒等变换技巧进行恒等变换.这里总结了一些三角恒等变换的常用方法，希望同学们及时总结归纳.

一、降次与升次

降次与升次主要是将三角函数中的项的指数降低或者升高，从而使得解题过程简化的一种变换方法.在运用降次与升次这一方法进行恒等变换时，同学们要学会巧妙地运用正弦、余弦、正切函数的二倍角公式及其变形.

例1.证明的值与x的取值无关.

分析：这个式子有一些复杂，有三个不同角的二次式、、，直接处理很麻烦，所以我们可以先利用余弦函数的二倍角公式降次，然后再进行化简，这样证明起来就会容易很多.

证明：

，

由此可见原式与x无关.

二、化弦法

化弦法主要是利用正弦，余弦，正切，余切，正割，余割这六个函数的基本关系进行互化，从而将函数式转换为熟悉的正、余弦函数来解题的一种方法.常用到公式有，.

例2.求证.

分析：观察这个式子，我们可以发现目标函数式等号两边的式子都含有正、余切函数，可利用，将函数式进行变形，从而证明等式成立.

证明：左边，

右边，

左边=右边.

三、常数代换

常数代换是三角恒等变换的一个常用技巧，常见的有“1”“”的代换，如等.在进行常数代换的过程中，同學们要注意结合函数结构和特征，选择合适的代换式子将函数式中的常数进行代换，从而化简函数式，使问题获解.

例3.证明：.

证明：左边

右边 .

该函数式的左边比较复杂，我们从左边的式子开始，首先利用正弦函数的二倍角公式将角统一，然后利用“1”的代换，运用，从而使sin2x变换为，进而证明结论成立.

四、引入辅助角

对于同时含有正弦、余弦函数的三角函数式，我们常需要引入辅助角，利用辅助角公式将三角函数式转换，.值得说明的是，这里辅助角所在的象限由a、b的符号确定，角的值由确定.通过引入辅助角，我们可以将三角函数式中的函数名统一，这有利于简化三角函数式.

例4.求值.

分析：函数式中含有，它们之间存在着一定的联系，所以我们可以先化切为弦，再引入辅助角，使用辅助角公式即可求出答案.

解：原式

.

以上的四种方法都是三角恒等变换的常用方法.在进行三角恒等变换时，同学们要注意观察三角函数式中角、项的次数、函数名称之间的差异，合理选择恰当的恒等变换技巧，如降次与升次、化弦法、常数代换、引入辅助角等进行变换.

（作者单位：江苏省启东市汇龙中学）