高考中数学建模问题的统计分析与解法探讨

闫妍 杨小康 张丽丽

摘要：数学建模作为中学数学的核心素养，在中学数学学习中愈发重要。本文考虑通过对近年来高考中数学建模问题进行统计分析，并对求解方法进行分类探讨，从而引导学生结合高考试题来学习数学模型知识，激发学生学习数学建模的兴趣。

关键词：高考;数学建模;统计分析

一、探究的背景与意义

随着课程改革的深入发展，高考题型在改革，出题方向也在进行变化，解题的方法多样，全面考查学生的数学能力。而数学建模还没有引入到学生解决高考题的方法中，一些高中学校仅将数学建模知识作为了解内容或者活动课，并没有培养学生的模型思想。因此，我们通过对高考中数学建模题目结合数学模型的方法进行分析和总结，引导和培养中学教师和学生初步熟悉应用模型解决问题的思路和方法，并以此为契机，推动培养数学建模能力的中学数学课程改革。

本文通过分析2008-2018年全国数学新课标Ⅰ卷，对所涉及的所有题型、分值分布做详细统计，并结合陕西卷和江苏卷对其中可用数学建模解决的问题进行分类和总结。对于高考中主要出现的数学模型，探讨了如何结合数学模型的思想和方法进行求解，并给出数学建模类问题的求解建议，为高中学生提供帮助。

二、高考题中数学建模问题的统计分析

（一）题型分布

全国Ⅰ卷在2010年以后全国Ⅰ卷在解答题上有所改变，其中分为第一部分5道必做题，和第二部分3道选做题（任选1道解答），第一部分必做题每小题12分，第二部分选做题（任选1道解答）10分，总分值上仍保持150分。

陕西省在2006年到2015年是自主命题，2016年以后选用全国Ⅱ卷，其试题数量分布和分值情况都和全国Ⅰ卷相同，不同点在于难度低于全国Ⅰ卷。

江苏卷是全国各省内难度系数最大的高考试卷。江苏卷试题分为14道填空题和6道解答题。理科学生还有一道附加题，其中包括一道选做题和两道必做题。文科满分160分，理科满分200分。其中包括70分选择题 90分解答題和40分附加题（针对理科学生）。

（二）数学建模类题目统计

从近十年全国卷|中统计所涉及到的数学建模问题，通过对试卷上的题目进行深入分析后发现，高考中的题目侧重于根据具体理论知识进行解题，涉及数学建模类的问题较少。

全国Ⅰ卷的难度属于较难的类型，但从统计中可以看出，建模类问题涉及较少，考查形式趋于简单。考生可以从相关问题中提炼出数学信息，在建立模型方面是较为简单的。例如2011年求产品质量与利润的关系，15年的利用散点图建立回归方程都属于函数模型，15年米堆体积与高度问题属于几何模型，16年生产产品利润之和最大值属于线性规划模型

陕西省在自主命题的近10年内，试题难度属于简单类型，相比于全国卷Ⅰ中的数学建模类问题明显增多，建模难度方面也有所提高。其中涉及比较多的是函数模型，例如12年的领取树苗往返所走路程的最小值，15年的抛物线上原始的最大流量与当前最大流量的比值的等问题，也有冶炼厂要生产铁的最少费用问题的等线性规划问题

江苏省的试题难度较大，数学建模类的题目也考查较多，几乎在每年的高考中都有涉及。例如：08年的污水处理厂选址，09年的交易中的满意度问题，10年的电视台高度测量等问题，这些题目类型与生活实例很贴近，同时对考生的建模能力要求很高，建模的难度也不言而喻。

通过对不同省份的高考数学卷进行题型分析。在其中涉及到模型问题的题目：函数问题、线性规划问题、几何问题的题目多一些，这些类型的题目可以用数学模型来进行求解，在此对其中的函数模型、线性规划模型、几何模型进行数量统计。

三、建模高考试题实例和学习建议

在平时的学习中考生要熟悉高中常见的模型、理解数学建模思想、掌握数学模型的方法和适用范围，并多进行建模类习题训练。针对像全国Ⅰ卷、陕西卷在构建数学模型时，题目中有较清晰的数学关系，考生可直接运用数学关系建立相应的模型进行解题。而对于复杂型建模问题，往往有许多数学信息与多种数学关系式交织在一起，考生需要从题目中的数学信息中剥离出不同的数学关系建立模型。

例如（2012年全国卷1第18小题第一问）某花店每支玫瑰花的进价为5元，售价为10元，卖不完的当作垃圾处理;（1）花店购进16支花时，求当天的利润y（单位：元）与当天需求量n（单位：枝， ）的函数关系式;

（1）问题分析：

本问题属于分段函数模型，在进行求解时要根据自变量的范围选取适当的函数模型，将所解决的实际问题转化为函数模型问题，从而更加熟练的掌握条件和模型之间的转换关系.在题目中可以建立数学模型来求利润和需求量之间的关系。同时不需要考虑其他因素对利润与需求量的影响。

（2）正比例函数模型建立和求解：

由题可知，卖出一朵玫瑰花的利润为5元。我们先假设所有的花都能卖完，则卖出的枝数和利润是成正比关系的。可以用 表示。

卖出一朵玫瑰花的利润为5元，那么卖出16朵就是 元。将带入函数模型中求解可得，这个正比例函数模型的表达式为： ;

那么我们再来考虑需求量n，当一天购进的玫瑰花数目大于16枝时，也就是卖不完，当作垃圾处理。则大于16枝以上的玫瑰花既赚不到钱也亏不了钱，那么利润y不变，仍为80元。

（3）一次函数模型建立和求解：

当一天购进的玫瑰花数目小于16枝时，就属于实际购进数小于需求量;每少一枝，利润就减少5元。此时我们建立一个利润为y，需求量为n的一次函数模型。函数解析式为 。

当购进15枝时，需求量是16，利润为 元;当购进14枝时，需求量是16，利润为 元;将 、 带入模型中求解可得： ;

综上，当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式为

（4）总结：分段函数在做的过程中要找到自变量的临界值，在自变量临界值左右所选取的数学模型是不同的，这一点是区别与其他类的，然后根据自变量的范围建立对应该段的数学模型。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2017

[2]梁远榕.运用建模思想解高考数学应用题[J].数学学习与研究.2010.12（2）：

项目名称：陕西省教育科学规划项目“基于新课标的中学数学建模实践活动研究（项目编号SGH18H298）”

第一作者简介：闫妍，西安文理学院信息与计算科学专业15级1班学生。

通讯作者简介：杨小康，陕西华阴人，西安文理学院信息工程学院讲师，主要从事数学建模的研究。

张丽丽，西安文理学院数学与应用数学专业17级1班学生。