双直线系在圆锥曲线中的应用

刘宇暄

高中解析几何中，离不开二次曲线系，灵活用好二次曲线系，可以一定程度上减小计算，同时直接获得相关表达式，在一定程度上了解二次曲线系是非常有好处的。

一、知识介绍

1、二次曲线一般形式为 （ 不同时为0）。

2、圆（ 相等， 为0）、椭圆、抛物线、两相交直线，两平行直线（因式分解得）、一条直线（直线一般式平方）等皆可以用上述式子表示。

3、过二次曲线 和 交点的二次曲线系，记为 。

二、问题研究

分析：当直线与另两条解析式已知的直线交于点时，双直线的应用可以快速找到两点间存在的关系。

4.（2015湖北）一種画椭圆的工具如图1所示， 是滑槽 的中点，短杆 可绕 转动，长杆 通过 处铰链与 连接， 上的栓子 可沿滑槽 滑动，且 当栓子 在滑槽 内作往复运动时，带动 绕 转动， 处的笔尖画出的椭圆记为 ，以 为原点， 所在的直线为 轴建立如图2所示的平面直角坐标系。

（Ⅰ）求椭圆 的方程

（Ⅱ）设动直线 与两定直线 和 分别交于 两点，若直线 总与椭圆 有且只有一个公共点，试探究： 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值;若不存在，说明理由。

评析：当两条直线与同一直线交于两点时，双曲线系可以避免求出点坐标具体值，在一次方程情况下将两点坐标结合到一起，利用根公式直接写出长度，简化运算。

结语：在学习双曲线系和运用双曲线系解决问题时，会经历观察发现、归纳类比、运算求解、演绎证明等思维过程，数学学习不仅限于接受记忆模仿练习，对一些问题的深入研究在培养我们灵活应用知识能力，熟练掌握方法技巧，提高数学思维能力是非常有益的。

参考文献：

[1]过两交点的二次曲线系在解题中的应用  彭世金  415003