突破中考圆锥计算题

王友峰

关于圆锥的側面展开图计算问题，在中考中常以选择填空形式出现. 解这类问题时，应明确圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长. 下面结合近年来的中考题，介绍和圆锥有关的计算问题的解题策略，供同学们学习时参考.

一、求圆锥的侧面积

例1（2019·四川·巴中）如图1，圆锥的底面半径r=6，高h=8，则圆锥的侧面积是（ ）.

A.15[π] B. 30[π]

C. 45[π] D. 60[π]

分析：圆锥的高、母线和底面半径构成直角三角形，由r=6，h=8，得母线l =10. 此时可以利用公式S侧[=πrl]求圆锥侧面积.

解：母线l =[ r2+h2=62+82=10]，则S侧[=πrl] [=π×6×10=60π]，故选D.

点评：根据侧面积公式，求圆锥的侧面积时，只要知道半径r和母线l即可.

二、求圆锥的底面圆的半径

例2（2019·江苏·无锡）已知圆锥的母线长为5 cm，侧面积为15π [cm2]，则这个圆锥的底面圆半径为 cm.

分析：对于公式S侧[=πrl]，已知S和l，求r，只要把S侧 = 15π，l = 5代入即可.

解：把S侧 = 15π，l = 5代入S侧[=πrl]，得15π = π × r × 5，所以r = 3.

故填3.

点评：本题也可以先求出扇形的弧长（即底面圆的周长），再求出底面圆的半径.

例3（2020·浙江·嘉兴）如图2，在半径为[2]的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的最大扇形（阴影部分），则这个扇形的面积为 ;若将此扇形围成一个无底的圆锥（不计接头），则圆锥底面半径为 .

分析：根据圆中90°圆周角所对的弦是直径可确定扇形的半径为2，进而根据[n360=rl]，可求出圆锥的底面半径.

解：连接BC，由∠BAC=90°得BC为⊙O的直径，∴BC=2[2]，

在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB=AC=2，

∴S扇形ABC=[90π×4360] =π;根据等式[n360=rl]，得[90360=r2]，∴r [=] [12].

故填π; [12].

点评：掌握“90°圆周角所对的弦是直径”，是解题的关键.

三、求圆锥的母线

例4（2019·浙江·宁波）如图3，矩形纸片ABCD中，AD=6 cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则AB的长为（ ）.

A. 3.5 cm B. 4 cm C. 4.5 cm D. 5 cm

分析：AB的长实际就是母线的长l，根据扇形的圆心角为90°，可得出底面圆的半径和母线的比值.

解：设AB = l cm，底面圆的半径为r cm，则[rl=90360=14]，得l = 4r.

∵AD = AE + DE = 6，∴4r + 2r = 6，∴r = 1，AB = 4r = 4（cm）.

点评：熟练掌握[n360=rl]是解题关键.

四、求圆锥侧面展开图的圆心角

例5（2019·山东·聊城）图4是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据（单位：cm），计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为 .

分析：由图可知，圆锥的底面半径r = 1 cm，圆锥的母线l = AC=3 cm， 利用n，r，l三者关系的等式即可解题.

解：设圆锥侧面展开图圆心角的度数为n°， 由图可知r = 1，l = 3，根据等式[n360=rl]，得[n360=13]，∴n=120.

∴圆心角的度数为120°. 故填120°.

点评：熟练掌握n，r，l三者关系，对于解题大有帮助.

通过对以上几个问题的研究，我们可以发现熟练掌握圆锥的侧面积公式、扇形面积、弧长公式，特别是三者关系的等式[n360=rl]，可以实现对中考中圆锥计算问题的“秒杀”.

1. 已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为120°，则该扇形的面积是（ ）.

A. 4π B. 8π C. 12π D. 16π

2. 用半径为10 cm、圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 cm.

答案： 1. C 2. [103].