因式分解方法拓展

雷添淇

中考对于因式分解的要求非常简单，要求了解因式分解的意义及其与整式乘法的区别与联系，会用提公因式法（字母的指数是正整数）、运用公式法（平方差公式、完全平方公式，直接运用公式不超过两次）进行因式分解. 高中代数部分是以函数为主线展开的，包括研究函数的性质、解一元高次不等式、三角函数的恒等变形等，需要具备较强的代数变形能力，而因式分解是代数恒等变形的重要途径，涉及的内容与方法远远超出中考的考查范围.为帮助同学们提升因式分解的能力，本文为同学们拓展介绍因式分解的其他方法.

一、知识要点

除了提公因式法与运用公式法（完全平方公式与平方差公式），因式分解的常见方法有：

1. 运用公式法：

（1）[a3±b3=（a±b）（a2∓ab+b2）];

（2）[a3±3a2b+3ab2±b3=（a±b）3];

（3）[a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=（a+b+c）2];

（4）[a3+b3+c3-3ab=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-ac-bc）=12（a+b+c）[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]] ;

（5）[a4+a2b2+b4=（a2+ab+b2）（a2-ab+b2）];

（6） [an-bn=（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+…+ abn-2+bn-1）]（[n]為正偶数）;

（7）[an-bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…+ abn-2-bn-1）]（[n]为正偶数）;

（8）[an+bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…- abn-2+bn-1）]（[n]为正奇数）;

2. 分组分解法

3. 配方法、添项拆项法

4. 十字相乘法

5. 待定系数法

6. 综合利用余式定理、因式定理分解因式

定理1：余式定理：多项式[f（x）]除以[x-a]所得的余数恰等于[f（a）].

定理2：因式定理：多项式[f（x）]含有因式[x-a]的充分必要条件为[f（a）=0].

推论：如果整系数多项式[f（x）=anxn+an-1xn-1+⋅⋅⋅+a1x+a0]有因式[px-q]，即有有理数根[qp]（[p]，[q]是互质整数），那么[p]一定是首项系数[an]的约数，[q]一定是常数项[a0]的约数.

7. 利用对称式、轮换式分解因式

对称式：若一个多项式中的任意两个字母互换，多项式不变，则称这个多项式是关于这些字母的对称式，如[x+y]，[x2-xy+y2].

轮换式：若一个多项式中含有的字母[x]，[y]，[z]轮换（把[x]换成[y]，[y]换成[z]，[z]换成[x]）后，多项式保持不变，则称此多项式是关于这些字母的轮换式，如[x2y+y2z+z2x].

性质 1：对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式.

性质 2：两个对称式的和、差、积、商（能整除时）一定是对称式;两个轮换式的和、差、积、商（能整除时）一定是轮换式.

二、例题解析

例 因式分解：

（1）[x6+y6+2x3y3];

（2）[（x2+x+1）（x2+x+2）-12].

解析：（1）经观察发现原式是关于x3，y3的完全平方式，

则原式 = [（x3+y3）2] [=[（x+y）（x2-xy+y2）]2] [=（x+y）2（x2-xy+y2）2].

（2）将x2 + x看作整体，令A = x2 + x，

则原式 = （A + 1）（A + 2） - 12

= A2 + 3A - 10

= （A - 2）（A + 5）

= （x2 + x-2）（x2 + x + 5）

[=] （[x-1]）（[x+2]）（[x2+x+5]）.

[作者单位：世界创新（辽宁）教育科技中心]