构造圆心角 解题好巧妙

左效平

圆心角与圆周角关系定理是圆中一个重要的应用性定理，下面举例介绍其应用.

一、构造直径上的圆周角

例1 （2019·山东·聊城）如图1，BC是半圆O的直径，D，E是[BC]上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE. 如果∠A=70°，那么∠DOE的度数为（ ）.

A. 35° B. 38° C. 40° D. 42°

解析：如图1，连接CD，∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC = 90°，

∴∠ADC = 90°，∴∠ACD=90° - ∠A = 20°，

∴∠DOE = 2∠ACD = 40°，故选C.

点评：构造直径上的圆周角得到直角三角形是解题的关键.

二、利用垂径定理等量代换

例2（2019·内蒙古·赤峰）如图2，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC=30°，则∠BOC的度数为（ ）.

A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°

解析：如图2，∵∠ADC = 30°，∴∠AOC = 2∠ADC = 60°.

∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，∴[AC] =[ BC].

∴∠BOC = ∠AOC = 60°. 故选D.

点评：熟练掌握垂径定理实现等量代换是解题的关键.

例3（2019·山东·威海）如图3，⊙P与x轴交于点A（-5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C. 若∠ACB = 60°，则点C的纵坐标为（ ）.

A. [13] + [3] B. 2[2] + [3] C. 4[2] D. 2[2] + 2

解析：如图3，连接PA，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥OC于E，

∵∠ACB = 60°，∴∠APB = 120°，∵PA = PB，∴∠PAB = ∠PBA = 30°，

∵A（-5，0），B（1，0），∴AB = 6，∴AD = BD = 3，

∴PD = [3]，PA = PB = PC = 2[3]，∵PD⊥AB，PE⊥OC，∠AOC = 90°，

∴四邊形PEOD是矩形，∴OE = PD =[ 3]，PE = OD = 2，

∴CE = [PC2-PE2] = [12-4] = 2[2]，∴OC = CE + OE = 2[2] + [3]，

∴点C的纵坐标为2[2 ]+ [3]，故选B.

点评：正确作出辅助线将角进行等量代换是解题的关键.