如何灵活应用垂径定理及其推论

杭静

垂径定理及其推论，主要应用于研究直径与同圆中的弦、弧之间的垂直平分关系，其内容虽然简单，但要灵活应用却非易事.现举例说明.

1. 利用垂径平分弦所对的弧构成相等的圆心（周）角

例1 （2013·广西梧州）如图1，AB是☉O的直径，AB垂直于弦CD，∠BOC=70°，则∠ABD=（ ）.

A. 20° B. 46°

C. 55° D. 70°

【解析】连接OD，∵AB垂直于弦CD，∴=，∠BOD=∠BOC=70°；∵OB=OD，∴∠ABD=×（180°-70°）=55°，故选C.

【点评】圆中通常把圆周角和圆心角以及它们所对的弧的度数进行转换，怎么转换需要根据题目的要求来确定.

2. 利用垂径垂直平分弦，构成等线段

例2 （2013·湖北黄石）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（ ）.

A. B.

C. D.

【解析】过点C作CF⊥AD，垂足为点F，因为∠ACB=90°，AC=3，BC=4，则AB=5；因为AC×BC=AB×CF，所以CF=；因为AC=3，在Rt△ACF中，利用勾股定理可求得：AF=，因为AF=FD，所以AD=，故选择C.

【点评】在有关圆的计算问题中，当求圆的一条弦的长时，常常要考虑垂径定理的应用.本题考查了垂径定理的应用、面积法、勾股定理等知识，能正确地作出辅助线是解决此题的关键.

3. 利用垂径垂直弦，构造特殊四边形

例3 （2013·四川自贡）如图3，在平面直角坐标系中，☉A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则☉A的半径为（ ）.

A. 3 B. 4

C. 5 D. 8

【解析】过点A作AD⊥x轴、AE⊥y轴，垂足分别为D、E. ∵B（8，0），C（0，6），∴OB=8，OC=6，∴OD=4，OE=3，∵∠BOC=∠ADO=∠AEO=90°，∴四边形ADOE是矩形，∴AD=OE=3，∴AO===5. 故选C.

【点评】本题考查平面直角坐标系、垂径定理、矩形的判定等知识.找出直径或半径是解答本题的关键.

4. 利用垂径垂直弦，构造特殊三角形

例4 （ 2013·黑龙江牡丹江）在半径为13的☉O中，弦AB∥CD，弦AB和CD的距离为7，若AB=24，则CD的长为（ ）.

A. 10 B. 4

C. 10或4 D. 10或2

【解析】连接OA，OC. 过O作直线EF⊥CD于E，交AB于F，则EF⊥AB. ∵OF⊥AB，OE⊥CD，∴AF=AB=12，CE=CD. 在 Rt△AOF中，根据勾股定理，得OF==5. ①当AB和CD在圆心的两侧时，如图4，则OE=EF-OF=2，在Rt△COE中，据勾股定理，得CE==，CD=2；②当AB和CD在圆心的同侧时，如图5，则OE=EF+OF=12，在Rt△COE中，据勾股定理，得CE==5，CD=10. 则CD的长为10或2. 选D.

【点评】本题考查垂径定理和勾股定理，作辅助线构造应用垂径定理和勾股定理的基本图形是关键. 由于本题没有画出图形，所以两弦的位置有两种可能：两弦在圆心的同侧或两弦在圆心的两侧.

小试身手

1. AB是☉O的弦，OC⊥AB于C，若AB=2 cm，OC=1 cm，则☉O的半径长为______ cm.

2. 圆的半径为13 cm，两弦AB∥CD，AB=24 cm，CD=10 cm，则两弦AB，CD的距离是（ ）.

A. 7 cm B. 17 cm

C. 12 cm D. 7 cm或17 cm

（作者单位：江苏省兴化市第一中学）