深度发掘图表功能，发展数据分析观念

黄慧明 陈志远 黄丽艳

摘要：在大数据时代背景下，发展学生数据分析观念，落实数据分析核心素养，对于提升公民的信息甄别能力和应用水平具有重要意义。统计图表既是数据依附的载体，也是一种数据的表现形式，教学中应牢牢抓住这一抓手，深度发掘图表功能，促進学生数据分析观念发展。具体做法主要有：注重数表转换，发展数据整理经验;注重表图转换，发展数据描述经验;注重图数转换，发展数据析取经验;注重图图转换，发展整体数据意识等。

关键词：数据分析观念;数据分析经验;统计图表;教学实践

数据分析是义务教育数学课程标准强调的十大核心概念之一，也是高中数学六大核心素养之一。《义务教育数学课程标准》如是描述数据分析观念：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中蕴含着信息;了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法;通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可以从中发现规律。[1]在大数据时代背景下，信息资讯丰富多元，无论是人们面对的数据形式，还是面对的数据数量，都较以前有了显著的不同。教学中注重发展学生数据分析素养，促其形成统计直观，对于提升公民对各种形形色色的信息的甄别能力和应用水平，有着重要的意义。

统计图和统计表一方面作为数据依附的载体，另一方面自身也是一种数据的表现形式。史宁中等人在《“数据分析观念”的内涵及教学建议》中指出：随着信息的迅速增长，我们需要扩大对数据的认识。只要蕴含着一定信息，无论是什么表现形式，都是数据。[2]不同的统计图表，其数据的蕴含形式和内涵，各有不同。在统计教学中，深度发掘统计图表的功能，在不同形式的图表之间进行转换，对于积累学生数据分析经验，培育学生数据分析观念，有着积极的效果。

一、注重数表转换，发展数据整理经验

统计表是由纵横交叉线条所绘制的表格来表现统计资料的一种形式，是表现数字资料整理结果的最常用的一种表格。统计调查所得来的原始资料，经过整理，得到说明社会现象及其发展过程的数据，把这些数据按一定的顺序排列在表格中，就形成"统计表"。统计表一般包括总标题、横标题、纵标题、数字资料、单位、制表日期。统计表依统计项目的多少可分为简单统计表和复式统计表。

教学中教师应重视将学生通过调查（全面调查或抽样调查）获得的数据，通过统计表的形式进行整理。在统计表格的绘制及数据的录入过程中，学生逐渐感知到数据从无序变成有序，从孤立变成联系，从模糊变成清晰，更加深刻地感受到数据的涵义，从而培育起对数据的亲近感。教师还应让学生思考“能否从统计表中还原出原始数据”这样的问题，因为这有助于学生提升数据整理经验的全面性。

案例1：《加权平均数2》

应该注意的是，“加权平均数”的教学内容，是一个很好的发展学生数据整理经验的载体。以人教版八下第114页的探究为例，按照教材的顺序进行教学的话，学生最大的难点在于为什么突然冒出一个“组中值”的概念，其必要性与合理性学生是存在质疑的。笔者在实施该课教学时，将教材第122页的“综合运用”第6题改编后前置，先让学生按具体温度进行整理，得到表1，然后由前一节课所学的加权平均数公式得到：

教师提出：如果是计算的范围是一年呢？

学生：还是一样呀，但是表格的行数会多一些。

教师继而提出：如果对结果的精确度要求不能么高的话，能否想个办法减少上述表格的行数？

学生：可以把气温按段分组，列出频数分布表。比如从最低13°C开始，按照13-18，18-23，23-28，28-33这样分组。

教师：那18算哪个组？

学生：我们可以规定18算后面那一组。

或者按照 这样分成4组，统计每一组的频数。这个频数就是权。

教师：也可以按

分，这样也可以避免出现“18归属前面还是后面”的问题。请同学们按刚才同学的思路列出表格。第一组就按间隔5°C一组，第二组按间隔4°C一组，第三组按照7°C一组，第四组按照3°C一组。

学生展示（见表2）：

在各小组完成列表后，教师追问：如何求出平均气温呢？

学生：已经有了每一组数据的权，缺的是每一组数据用哪个值来计算。

教师：你们觉得用哪个值来计算合理？

学生讨论后：用每一组数据的平均值作为数据的代表。

教师先指出组中值的概念，然后请各小组先在各自的表格中补上“组中值”列（见表3），并用这种方法求出相应的平均值。

学生：第一组平均值为21.16°C，第二组平均值为22°C，第三组平均值为22.03°C，第四组平均值为

教师：从各组计算的结果来看，有什么规律？

学生：组距越小，分组越多，平均值越接近实际数值。

教师：那是不是分组越多越好？

学生：分组越多整理起来越麻烦。

教师：所以有必要在精确和便捷之间寻找平衡。一般来说，数值跨度不是太大的话，分成5-12组左右较为适宜。另外我们也要看到，从频数分布表是没法还原出原始数据的。

在这样的设计中，学生从实际问题出发，从统计的角度进行思考，经历从复杂而准确的统计表到简洁但近似准确的频数分布表的建构过程，理解了为什么分组，怎么选取每组数据的代表，有效发展了学生数据整理的经验。

二、注重表图转换，发展数据描述经验

利用统计图表整理和描述数据，有利于我们发现和探索数据中蕴含的规律，提取数据中的信息。初中阶段涉及的统计图主要有条形图、扇形图、折线图和直方图，不同的统计图从不同侧面对数据的特点进行了描述。教学中，引导学生学会根据问题的需要，合理进行图表转换，进而理解结果有“好坏”而无“对错”之分，可以促进学生的数据描述经验的发展。

案例2：利用抽样调查得到的数据进行表图转换

下表是雷若一同学通过对所在小区某垃圾投放点管理员进行调查，了解到的自从开始实施生活垃圾分类两个月以来该处投放点错误分类纠正情况的数据：

选用合适的统计图进行数据描述并回答下列问题：

（1）第一周各种错误分类的具体次数分别是多少？

（2）开始实施生活垃圾分类两个月以来，该投放点中各种错误分类所占的比例分别是多少？

（3）开始实施生活垃圾分类两个月以来，该投放点中哪种错误分类经过纠正后改进效果最好？

学生1：第（1）个问题适合用条形图来描述，各个类别的数目一目了然，很直观。

学生2：我有个疑问，表格中的数据不也很具体吗？干嘛还要画条形图。

学生3：数字固然具体，但是不容易记，也不便比较，条形图把比较的结果通过“高度”呈现出来，很形象，很直观，容易说明问题。

教师：数据数量多的话，用统计图来描述的优势就更明显。

学生4：第（2）个问题适合用扇形图来描述，各部分所占的比例很清晰，这是扇形图的重要特点。

学生5：第（3）个问题也可以用条形图，每周同时把四种错误分类的“柱”放在一起画，可以起到比较的效果。

学生6：不行，那只能看出每周谁多谁少，看不出趋势。

学生7：要看出变化趋势，最好的选择还是用折线图。

教师：折线图其实可以看成数量随时间变化的函数图像，函数是研究变化最有力的工具。

值得注意的是，因为信息技术的发展，统计图的绘制都可以通过软件自动生成，教学中应有意识将侧重点放在“识图”而不是“绘图”上，这种处理对于中下层次的学生而言，可以提升他们参与相关教学活动的积极性，自然地，也会促进他们数据描述的经验发展。

另外，在表图转换过程中，要注意培养学生对待数据的“科学的直观”。表图转换的最大好处就是其呈现数据的直观形象，予人以简洁明了。但这种直观简洁必须建立在科学准确的基础上，否则会出现偏颇甚至错误的描述。如下图中，纵轴的起始刻度从15开始，很容易让读者产生错觉，认为喜爱体育的人数差不多是喜爱新闻的3倍，实际结果还不到2倍。

再者作为表图转换的补充，教学中要引导学生思考“由图化表”的问题。由于不同统计图各有特点，其“由图化表”的程度也不尽相同。条形图和折线图很容易转换成相应的统计表，扇形图必需明确总数才能明确具体的数目，频数分布直方图则无法还原出“原始数据”，只能还原出各组的频数分布表。

三、注重图数转换，发展数据析取经验

从《义务教育数学课程标准》对数据分析观念的叙述来看，让学生了解“对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法”是其三大内核之一。这应该从两个方面来理解：一是要掌握基本的数据分析方法，二是会根据问题的背景选择合适的方法。只有紧紧围绕这两个方面来设计和实施教学，才能逐步促使学生感受数据分析方法的好坏及适用条件，乃至创造新的方法解决问题。[3]统计图是对经过整理的数据的一种直观的描述，也是日常生活中接触得较多的一种数据的载体，教师应在教会学生如何有效而快速地从中析取需要的统计特征量、发展学生的数据提取经验上多下工夫。

1.从条形图和扇形图中提取统计特征量

条形图能够直观显示各项目的具体数量，扇形图则对各部分所占的比例一目了然，只要明确众数和中位数的概念，要从这两种统计图中提取出众数和中位数比较容易。学生容易犯错的，主要是平均数。其原因在于有些学生对于数据的“权”的概念一知半解，只是生硬地记忆教材提供的公式;而教师在教学中更多出于应试的目的，只是在常考题型中让学生去进行训练加权平均数的计算，未能深究“根据实际需要对不同类型的数据赋予与其重要程度相应的比重，其中...分别称为...的权”的内涵，从而导致学生对“权”的表现形式停留在百分数和比例上，不善于根据具体问题去分析何为“数据”和“数据的权”。

案例3：利用条形图析取“平均数”

如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图.那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数和平均数分别是_________________。

学生1：由图知，众数是8小时;共40个数据由小到大排列后，第20个数据和第21个数据都是9小时，故中位数也是9小时;数据3、16、14、7的权依次是7、8、9、10，根据加权平均数公式易得：

学生2：我的答案中众数、中位数和前面同学一样，平均数和他不同。我认为数据7、8、9、10的权依次是3、16、14、7，根据加权平均数公式易得 。

教师：两个同学之所以得到的平均数不同，关键在于对于什么是“数据”和“数据的权”不明确。对这两个同学的答案，你们有什么看法？

学生3：我支持第2个同学的答案，题目中已经明确告诉我们要研究“该班40名同学一周参加体育锻炼时间”，因此“数据”应该是时间，“数据的权”应该是相应的人数。

学生4：我也支持第2个同学的答案，他前面求众数和中位数都已经知道“时间”是数据了啊。不能前面把“时间”当“数据”，后面又把“人数”当“数据”。

教師：像这种问题，关键在于审题要细致，弄清题目的研究对象是什么。本题研究对象是“该班40名同学一周参加体育锻炼时间”，即有7小时、8小时、9小时、10小时等四个“数据”，每个数据对应的人数反映了该数据的比重，也就是该数据的“权”。对于通过条形图析取“平均数”，有一个比较直观的做法，横坐标的量是“数据”，纵坐标的量是“权”。

2.从折线图中析取统计特征量

折线图能够较好地反映数据的变化趋势。其众数、中位数、平均数的析取，和条形图、扇形图类似。比较不同的是，利用折线图，有时可以无需经过计算，就可以比较两组数据的方差。适当加强这方面的训练，有助于学生统计直观的达成。

案例4：利用折线图比较两组数据的方差

为提高节水意识，小申和小邵随机统计了自己家7天的用水量，将得到的数据进行整理后，绘制成如图所示的统计图.（单位：升）

试分析这两组数据的平均值和方差的大小。

教师：你们的答案是？

学生齐：平均数相同，小申家的数据方差小。

教师：我们请小杰说说他是怎么得出答案的。

小杰：计算啊，平均数就是各自加起来，除以7，都是800.方差嘛，也一样，代入方差公式，巴拉巴拉，可以算出小申家数据的方差是 ，小邵家数据的方差是 。

小郴：平均数还是一样要算。方差不用算，直接看。

教师：怎么看？

小郴：方差是表示一组数据离散程度的指标，数据越不整齐，越离散，方差就越大。两组数据的平均数一样，但是显然小邵家的数据偏离平均数的幅度大很多，因此不用算也可以判断小申家数据方差小。

教师：小郴的做法可以理解为“数形结合”。我们要认真体会各种统计特征量的含义，在解决问题时，做到活学活用。当然了，如果偏离程度没那么明显的话，那就只能算。

3.从直方图中析取统计特征量

与条形图、扇形图、折线图不同，频数分布直方图通过计算落在某个区间内的频数来简化数据，直观反映了各个区间上数据分布的确切数目，但是无法通过直方图恢复出原始数据。其平均数的析取，还要先用区间两个端点的平均数（组中值）作为数据的代表，再利用加权平均数的公式进行计算。

案例5：利用频数分布直方图确定平均数

为养成学生课外阅读的习惯，各学校普遍开展了“我的梦中国梦”课外阅读活动.某校为了解七年级1 200名学生课外日阅读所用时间情况，随机抽查了部分同学，进行了相关统计，整理并绘制出如下的频数分布直方图.

该校七年级学生平均课外日阅读所用时间大约是______小时.

笔者在讲解此类问题时，采取“退一步”的策略，先让学生通过条形图求“平均数”（如案例3），再设计以下问题串进行导引和针对性提问（针对班级中的中下层次）：

（1）两个问题的目的是否相同？两个问题的条件的呈现方式是否相同？

（2）通过条形图求平均数时，你怎么确定“数据”和“数据的权”？

（3）观察频数分布直方图，题中共有几组数据？每一组数据的权各是多少？

（4）怎么确定各组数据的代表？

（5）如下是两个同学的列式求解过程，你赞同谁的做法？

在不断的比较中，归纳相同的部分：都是通过统计图求平均数、“数据”都指时间、“数据的权”都是相应的人数;发现不同点：一个是条形图一个是频数分布直方图、一个已经有“数据”另一个缺少“数据的代表”;在明白算理的基础上，才谈得上固化学生“利用频数分布直方图确定平均数”的技能。

四、注重图图转换，发展整体数据意识

不同的统计图从不同的角度对数据进行描述，教学中注重统计图之间的转换，有助于学生进一步体会不同统计图的特点，还有助于学生全面把握数据的内涵，发展学生的整体数据意识。教学中要先让学生熟悉完整统计图之间的转换，再进一步拓展到不完整统计图的互相补充与完善。

案例6：完整统计图之间的相互转换

下图是某班学生阶段测试数学成绩各分数段人数的条形图，请据此画出该班学生数学成绩的扇形图。（分优秀——95.5～120;良好——83.5～95.5;及格——71.5～83.5;不及格——0～71.5四类）

下面是笔者和小轩（数学成绩班级中下）的对话：

小轩：老师，这题我不会做。

教师：没事，我教你。你先告诉我从已知的条形图能得到什么信息？

小轩：总共有6条，每一条的人数也都知道了。

教师：那总人数呢？

小轩：加起来就是总人数，40人。

教师：题目要求我们做什么事呢？

小轩：画扇形图。

教师：画扇形图要知道什么信息？

小轩：分成几块、每一块的百分数。

教师：很好，题目要求分成几块？

小轩：分成四块。

教师：怎么把条形图中的六块，变成扇形图中的四块？

小轩：第1、2两块合起来是不及格，有6人;第3块是及格，有8人;第4块是良好，有10人;第5、6两块合起来是优秀，有16人。

教师：你能把每一块的人数转换成百分数和相应扇形的圆心角度数吗？

小轩：能。只要把各块的人数除以40，就可以算出百分数，再乘上周角的度数360，就可以得出每一块的圆心角。

教师：那这个题目你会做了吗？

小轩：会了，谢谢老师！

教师：碰到不会做的题目不要慌，先想想已知什么，还能得到什么，再想想要求什么，只需要什么，两边一对照，往往就可以理清思路，找到办法。

扇形图略。

案例7：不完整统计图之间的互相补充与完善

某高中进行“选科走班”教学改革，语文、数学、英语三门为必修学科，另外还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理（分别记为A、B、C、D、E、F）六门选修学科中任选三门，现对该校某班选科情况进行调查，对调查结果进行了分析统计，并制作了两幅不完整的统计图.

请根据以上信息，将以上统计图补充完整。

笔者在讲解此类问题时，通常会指导学生先按照圈读文本、比读统计图的程序进行阅读，再通过阅读获取各自统计图缺损的信息和同一对象的不同信息;然后根据同一对象的不同信息寻找关联，发掘隐含信息;最后再补全缺损信息。如本题中，由扇形图得知化学占比20%，由条形图得知选化学的人数为10人，根据 ，可以求出总人数为50人。

当然，发展学生的数据分析观念，最主要的途径是让学生亲历有意义的统计活动过程。但是如果在课堂教学中，教師能够充分发掘统计图表功能，做到以上四个注重，对于发展学生数据分析观念必将产生积极的影响。另外应该指出的是，教师还应当注意统计与其它模块知识的结合，在大统计思维下去发掘统计图表功能，发展学生数据分析观念。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2011.

[2]史宁中，张丹，赵迪.“数据分析观念”的内涵及教学建议[J].课程.教材.教法，2008，（6）：40-44.

[3]付巍.数据分析观念的内涵及培养[J].数学通报，2015，（8）：28-31，35.

作者简介：黄慧明，厦门市金尚中学高级教师，厦门市学科带头人，专家型教师培养对象。