椭圆内接三角形面积最值研究

◇ 新疆 范雅芳

笔者曾研究过椭圆上任意两点与原点连线构成的三角形面积最大值为ab,现进行深入探究.

1 拓展思考

在椭圆内部由椭圆的中心点O 和椭圆上任意两点A,B 构成的△OAB 面积的最大值是定值ab,那么构成△OAB 的这三个顶点中有一个定点O 和两个动点A,B,若将此结论推广一下,让点O 也变成一个动点C,即在椭圆上任意取三个点构成△ABC,则△ABC 的面积的最大值是否也会是一个定值呢?

2 问题引入

经过笔者之前的研究发现向量坐标的运算在整个问题的研究中有着简捷且运算方便的特点,因此要研究三个都是动点的三角形面积问题,也可以考虑从向量的坐标运算出发,先引入两种方法,将三角形的面积表示出来.

图1

证法1(向量坐标法)

设椭圆上三点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则＝(x2－x1,y2－y1),＝(x3－x1,y3－y1),那么

证法2(解析法)

因为lAB的方程为(y2－y1)x－(x2－x1)y＋x2y1－x1y2＝0,则点C(x3,y3)到lAB的距离是

所以S△ABC＝AB·d ＝|x1y2－x1y3＋x2y3－x2y1＋x3y1－x3y2|.

3 问题求解

上述式子给出了一个计算的方向,但是如果用坐标直接进行运算是非常烦琐的,计算难度也很大,所以在接下来的研究中,我们可以尝试利用参数方程、三角代换的方法.

设u＝sin(α－β)＋sin(β－γ)＋sin(γ－α),令x－t＝α－β,x＋t＝β－γ,则α－γ＝2x,所以u＝sin(x＋t)＋sin(x－t)－sin2x＝2sinx(cost－cosx).

下面求u 的最大值.

当sinx≥0,

当sinx＜0,

4 问题再思考

进一步思考,椭圆上的三个动点形成的椭圆内接三角形的面积有最大值,那么达到最大值时的三角形会不会是一个特殊的三角形,是否具有某些特征呢?

定理已知△ABC 内接于椭圆(a＞b＞0),若其重心G 与椭圆的中心O 重合,则△ABC 的面积为定值,此值为

证明(仿射变换法)

由于△ABC 的重心G 与椭圆的中心O 重合,因而△A′B′C′的重心G′与圆心O′重合,所以△A′B′C′是圆O′：x′2＋y′2＝a2的内接正三角形,易知

这个定理只是为我们提供了一种可能性,意思是满足重心与椭圆中心重合的三角形的面积就是内接于椭圆的三角形中面积的最大值,那么反之是不是面积是此值的三角形就一定会是重心与椭圆中心重合的三角形呢? 这个问题在此提出来,希望各位数学爱好者能够进一步解答,静待读者对此问题的更多见解.