探究性教学过程中启发性提示语的应用——以“三角变换中化简求值问题解决”为例

李 健

(南京航空航天大学附属高级中学，210007)

探究性学习的本质是要引导学生自己去寻找解决问题的方法，它是课程改革倡导的一种学习的理念及方法.古语云:“大疑则大悟，小疑则小悟，不疑则不悟”.如果在教学过程中仅将数学知识直接灌输给学生，没有学生的个人探究及深入思考，那么学生的学习只能是浅层次的，自主领悟能力得不到提升，这对学生的长期发展是不利的.所以，数学教学应注重过程性教学，即“从无到有的探究过程”.

在探究性教学过程中，教师如何正确引导学生一步步寻找解决问题的线索，是探究性学习成功的关键.教师引导学生的重要载体是启发性提示语的应用，启发性提示语没有固定的模式,需要结合教学实际,由教师来创造.本文以“三角变换中化简求值问题解决”为例,阐述如何运用启发性提示语进行探究性教学.

一、教学片断

师:大家能解决这个问题吗?部分同学算不出答案,请你思考一下，在处理哪个条件时出现了问题呢? (意图:让学生观察式子特点，根据以前的认知经验，选择弦化切或切化弦，但是具体保留哪个?学生自己思考)

生:三角函数名的问题.

师:选择弦化切还是切化弦?理由是什么? (意图:让学生思考切化弦的原因，明白如何选用方法)

生:因为式子是非齐次的,所以切化弦.

生:通分.

生:辅助角公式.

师:同时出现正余弦和正切,式子是非齐次的,该怎么处理?(切化弦).“整式+分式”形式,如何化简?——通分.遇到asinx+bcosx,使用什么公式化简?(辅助角公式)如果式子出现多个角,且角之间还有关系,应该如何处理?(消角)

(意图:通过对本题的回顾小结，学生学会了如何解决这类问题的策略，教学内容由远及近，学生的回答由弱变强)

师:你看到本题有什么特点? (意图:让学生发现式子特点是齐次式并且有两个未知角)

生:有两个未知角.

师:如何处理这两个未知角?它们之间有怎样的关系? (意图:让学生发现角之间的关系，进而实现消除角的差异)

生:20°=2·10°,30°=10°+20°.

师:这两个等量关系,用哪个呢? (意图:让学生注意在消除角的差异的同时，还要注意尽量让式子简单即齐次)

生:利用30°=10°+20°进行消角.

师:现在大家选择后者进行消角,那么消10°还是20°呢? (意图:让学生学会用最简单的方式消角，尽量保证原式简单)

生:消10°简单.

师:现在大家动手做一做,看看能不能算出来. (意图:让学生自己动手实践，一方面培养学生的数学运算能力，另一方面让学生感受到这类题目只要自己够一够还是能解决的，培养学生的数学自信)

师:以后再遇到需要消除角差异的同时,还应该注意什么? (意图:通过以上提问，让学生明白并不是随意消角，尽量让消角之后的式子更简单.通过思考，学生以后再遇到类似问题时，会思路清晰)

生:尽量让式子更简单,如齐次等.

小结:通过例1及例2的启发，引导,学生学会了解决“三角变换化简求值问题”的方法,即要注意消角、切化弦(弦化切)、通分、辅助角公式的应用等.在例1、例2的处理上,教师使用了启发性提示语,形成了有内在联系的思维链,启发学生学会思考问题的一般方法,学生可以自行根据启发性提示语,来解决以下一例.

例3计算:2sin 20°+cos 10°+tan 20°·sin 10°=______.

师:刚才我们一起解决了两个三角变换化简求值问题,大家能不能通过“自问自答”的形式来解决例3呢? (意图:由学生自己提出目标问题，经历一定的问题链将答案算出.通过这种形式，使学生经历解决这类化简求值问题的思维过程, 启迪学生的思维)

学生独立完成.

师:现在大部分学生能够独立解出这类问题.能给大家讲讲,你用了哪些提示语帮助自己解决这道题目的?

生:这是什么问题?(三角变换化简求值问题)

三角函数名有什么特点?该如何处理?(同时出现正余弦及正切,应该切化弦)

角有什么特点?是否已知?是否有关系?(20°=2·10°,10°=30°-20°,20°=30°-10°)

该用哪个等量关系来消角?(用10°=30°-20°,这样不仅保证次数都是一次的,而且化简后的式子相对简单)

小结通过前两道问题,教师利用启发性提示语对学生进行启发引导,化解学生的疑问,引导学生朝着目标方向思考,使学生的自主领悟空间大,获得的感悟也多,是学生学会思考的突破口.紧接着给出例3,让学生学会用启发性提示语引导自己,逐步培养适合自己的启发性提示语,从而学会不断开发自身学会学习的潜能.

二、 关于开展探究性教学的几点思考

1. 开展探究性教学的积极意义

“君子之教,喻也”,这是《学记》中的一句名言,所谓“喻”,即启发、引导.教师如何才能做到善喻?应“道而弗牵,强而弗抑,开而弗达”,即善于教学的人在于引导学生,而不是牵着学生走;鼓励学生,而不是压抑学生;启发学生,而不是直接告诉学生答案[1].而现在很多学校追求“效率课堂”,数学课堂几乎离不开“导学案”等.在教授新课之前,学生往往要自己看书预习,并完成导学案上的预习部分甚至是整个导学案,在课堂上主要来解决导学案上学生做得不好的题目.这样,学生很快会做导学案的所有问题,看似完美,实则这样的教学是浅层次的.学生仅仅学会了“模仿”如何解题,并没有个人的思考与探究.回归到教育的本质,我们教育的目的到底是什么?爱恩斯坦说:“教育的目的不是学会知识,而是习得一种思维方式.”数学最大的育人功能,正是在于数学也是一门思维的学科,如果数学的教学不能使学生学会思考,这样的数学毫无意义[2].所以,在数学教学活动中,需要学生由无到有地探究,自己发现问题,并寻找解决问题的方法,只有这样，学生才能“习得思维”，“学会思考”.

2. 如何应用启发性提示语——由他启学会自启

在教学活动中,教师的角色是“引导者”.数学是抽象的,学生学数学离不开教师的引导启发.那么,数学教师如何引导启发?这就需要用启发性提示语引导.教师在教学过程中,通过合适的启发性提示语，给学生提供有必要引导,学生通过自己的思考,得到启发,进而解决问题.那么,教师如何用好启发性提示语呢?启发性提示语其本质是“提问题”,所提的问题是能够帮助学生产生积极思考的问题,是促进学生找到解题思路的动力.在本案例中,例1所给式子很简单,学生往往无从下手,教师的一句“你在处理哪个条件时出现了问题呢?”,学生自然会去寻找思维的障碍点,即tan 10°,进而使用切化弦,解决了本题的第一个难点.启发性提示语还有一个特点是自然平和,不仅要在学生的最近发展区应用启发性提示语,而且还要和新知识自然衔接,让学生以已有的知识和经验为生长点生成新知识,从而使数学数学内容和学生的数学思考融为一体[1].启发性提示语还需要一定的目标性,它必须指向目标,但对目标的指向隐含其中,引而不发.在例2中,教师引导学生如何消角时,学生自然会想到两种方法,进一步体会不仅要消角,而且还要保证次数整齐,学生思维在选择消角的方式上得到锻炼.在例3的处理上,教师让学生通过自己运用启发性提示语的形式解决问题,这对学生学会用自己的提示语来启发引导自己大有益处.

如果教师能够长期运用启发性提示语来引导学生进行探究活动,学生就能熟练地运用启发性提示语来引导自己解决问题,逐步地就有适合自己的一套启发性提示语了,也就学会了不断自我提问及自我启发.长此以往,学生就能不断开发自我学习的潜力,这样也便实现了教育的目的.