与圆有关的最值问题的听课思考

白小燕

与圆有关的最值问题不仅是中考考查的热点，还是复习过程中较难的内容，其涉及的内容主要包括两个方面。第一是在动态图形中寻找定量关系，将问题转化为解决线段最值的两个定理，即“两点之间线段最短”和“垂线段最短”。第二是动点轨迹的判断，如“定边对定角”模型。在本课教学中，问题的解读、分析、解答、释疑等过程都是学生担任主角，教师是以引导者的角色出现的。学生和教师就问题进行辨析和探讨，在由浅入深、层层推进的过程中了解了知识的生成，加深了对最值问题的理解。

听完这节课，我一直在思考怎样结合学生的认知特点和学习水平更好地开展教学，以下就是我对与圆有关的两点距离最值问题的一些看法。

观点1：平面内一点（定点）到圆上点（动点）的距离最值问题——抓本质，挖主线

问题1.

如图，⊙O的半径为2，P、M和N是平面内的三个定点，且PO=2，MO=1，NO=3。

（1）P到⊙O上点的最大距离为___;

（2）M到⊙O上点的最大距离为___，最小距离为___;

（3）N到⊙O上点的最大距离为___，最小距离为___。

这类就是平面内一点（定点）到圆上一点（动点）的距离最值问题，定点的位置可以分为圆内、圆上、圆外三种情况，教师应抓住“穿心线”这一实质问题，挖主线引导学生归纳：半径是r，定点到圆心的距离是d，不论定点位置在哪里，两点距离最大值为r + d，两点距离最小值为|r + d|。

观点2：开展针对训练，“摩天轮”模型——似无圆，实有圆

问题2.

如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同速度沿BC、CD向终点C和D运动，连接AM和BN，交于点P，则PC的最小值为___。

观点3：点与圆之间增加一条线——再变式，找关键

问题3.

如图，点A为定点，点B为圆上一动点，请在直线M上找一点P，使AP+PB最小。

解决这类问题时，教师应引导学生在图中寻找定量关系，将问题转化为解决线段最值的两个定理，即“两点之间线段最短”和“垂线段最短”。

观点4：模拟中考——抓关键，用模型

问题4.

（1）如图①，正方形ABCD的对角线交于点O，△CDE是邊长为6的等边三角形，则O、E之间的距离为___;

（2）如图②，在边长为6的正方形ABCD中，以CD为直径作半圆O，点P为弧CD上一动点，求A、P之间的最大距离;

（3）窑洞是陕北农村的主要建筑，除了坚固及外在美外，还有冬暖夏凉的优点。家住延安农村的一对双胞胎兄弟小宝和小贝，他们发现自家窑洞的门窗是由矩形ABCD及弓形AMD组成的（如图③所示），AB=2 m，BC=3.2 m，弓高MN=1.2 m（N为AD的中点，MN⊥AD）。小宝说，门角B到门窗弓形弧AD的最大距离是BM之间的距离;但小贝说这不是最大的距离。你认为谁的说法正确？请通过计算说明。

我认为，一节课应着眼于学生的最近发展区，抓住一条主线进行深挖，让学生在发现问题和解决问题的过程中逐步学会识模、用模，进而尝试建模，这样就能培养和提升学生的学习意识、学习能力和综合素养。

作者单位    西安高新第二学校