上海二年级学生运用加法交换律的探索性研究

黄兴丰，宋忱慊，李业平

上海二年级学生运用加法交换律的探索性研究

黄兴丰1，宋忱慊2，李业平3

（1．上海师范大学 国际与比较教育研究院，上海 200234；2．上海市徐汇区向阳小学，上海 200031；3．美国德克萨斯农工大学 教育与人类发展学院，德克萨斯 77843）

运算律是小学数学运算的重要性质，对学生学习后继数学课程具有重要的意义．围绕二年级学生如何在不同的数学情境中运用加法交换律这个问题，采用纸笔测试与访谈的办法对上海市区一所小学的24名二年级学生进行调查．研究发现：被选择的二年级学生能运用加法交换律直接判断形如“+=+”的等式成立，但是从学生所举的例子来看，由于他们对加法认识的局限性妨碍了对加法交换律的理解．在对常规的两位数和3位数的连加运算中，约60%的学生能运用加法交换律进行简便计算，然而只有不到30%的学生能自觉运用交换律进行推算，这也间接地表明学生只是在行动中运用了运算律，但是还没真正达到概念化的程度．

加法交换律；等式；简便计算；推算

1 问题提出

加法交换律是实数域上满足的一个基本公理，是建立实数理论的重要基石．在自然数集中，加法的交换律可以在皮亚诺公理体系下证明，是一个最基本的运算定律，与加法的结合律一起建立了自然数的加法运算法则．在小学学习加法交换律，不仅可以促进儿童对算理的理解，还可以使他们体会一般化的数学思想，为将来学习代数做好必要的准备．

早期的研究表明，对一般儿童来说，大约七八岁时产生对交换性的理解，八九岁时能抽象出交换的概念[1]．儿童通过非正式的计算经验，可以获得对加法交换性的认识，随着数数等活动经验的积累，逐渐会忽视两数相加的顺序，抽象出加法交换的特征[2–3]．在此过程中，儿童对于加法交换律的理解可能会存在多样性．比如，无论两个加数的位置怎么变，始终是这两个数，所以结果不变；只是前后位置颠倒，所以答案一样．前者着眼于结果“数字不变”，后者着眼于过程“颠倒位置”[4]．可见，在自然数集上，儿童对加法交换律的认识会涉及到如下3个要素：第一，这是加法运算满足的性质，对于其它运算未必成立，比如减法；第二，两个加数的特点，即等号左右两边加数相同，但是次序交换；第三，运算结果相等，即等号两边运算的结果是相等的．不少学者围绕上述方面，在各自研究的基础上阐述了不同的观点．

（1）运算经验对理解加法交换律的影响．

Baroody等认为，儿童对加法交换律的认识首先来自于他们所采用的数数方法．比如2+4，他们开始可能会从第一个数所对应的参照物数到第二个数所对应的参照物；或者接着第一个数2后，只数第二个数所对应的参照物．他们后来会从第二个数所对应的参照物开始数到第一个数所对应的参照物，或者接着第二个数4后，只数第一个数所对应的参照物．通过不同顺序的数数过程，儿童最终体会到数数的结果与数数的次序无关．另外，他们也发现，儿童对加法意义的理解也会影响他们对加法交换律的认识：对于加法，可以理解为一元运算，比如在2+4中，就是在2上加4；也可以理解为二元运算，2和4相加．当学生认识到加法是二元运算之后，才能达到理解加法交换律的更高水平[5]．

（2）加法交换律源于对部分和整体的认识．

Resnick等认为儿童对加法交换律的认识起源于“部分和整体”的图式．在量化之前（protoquantitive），他们就可以认识到一个作为整体的量可以分成两个或更多的部分，这些部分可以合成原来的整体，而且合成的次序并不影响整体的重构．进而，儿童把部分和整体的这种图式应用到具体量化的情境，认识到3个苹果+5个苹果=5个苹果+3个苹果．当儿童不再需要具体的对象作为参照物时，他们的认识就达到了抽象的数的水平3+5=5+3[6]．

（3）认识加法交换律中的相等关系．

Bermejo等研究发现，由于加数的交换，儿童开始会拒绝等号两边相等．如果他们认识到两边的加数完全相同，就会采用一一对应的方式进行比较，从而忽略运算的顺序．此时，儿童的认知可能源于部分和整体的图式，不过他们的认识尚处于直观感知的水平．如果儿童能通过两边分别求和，判断等号两边是否相等，则他们对于加法交换律的认识又上升到了一个新的水平．当儿童能清楚地表明，由于加数相同，顺序不改变加法运算结果的时候，他们的认识则又向前迈进了一步，达到了形式化的水平[7]．

综上所述，儿童对加法交换律的认识存在多个水平，是一个不断发展的过程，他们的理解会受到多方面的影响．比如数数、加法的意义、部分和整体的图式等．同时发现，研究者常常通过让儿童解释形如+=+的等式为何成立的方式，来初步推测他们对加法交换律的理解和认识．尽管目前有不少的研究数据间接或直接地支持上面各种观点，但是也有不少证据和上述观点不相一致[8]．这也就需要作进一步的研究．

上海在2009年和2012年的PISA测评中均取得了全球第一的成绩，许多国家的学者和教师纷纷来到上海，希望找到上海教育成功的秘密．上海小学数学教学受到了国内外同行的格外关注，那么上海的数学课程在帮助儿童认识加法的交换律上存在哪些特点呢？上海的学生在运用加法交换律上的表现又是怎样的呢？

2 上海小学数学课程的特征

上海教材在一年级第一学期就已经开始渗透加法交换的思想了．首先，在学习“分与合”一节中，学生通过双色片探究分与合时，感受同一个数可以分拆成两个数交换的形式，例如：6可以分成2和4或4和2．其次，在学习加法运算时，教材也特意设计了交换的情境．在加法的合并模型中，问大老虎有2只，小老虎有4只，合在一起共有几只老虎？教材给出算式2+4=6后，问还可以列成4+2=6吗？在添加模型的乘车游戏中，原来有3人，又上来6人，现在有几人？再问原来有6人，又上来3人，现在有几人？最后，教材在整体和提高的单元中，又设计了“比较”一节，要求学生比较1+4和5，4+1和5的大小，还要求学生比较3+5和5+3的大小关系，通过这些问题让学生感受交换之后和不变的性质．在随后的“组算式”一节中，又让学生通过3个数字组算式（比如用3、4、7可以组成3+4=7、4+3=7），让学生进一步体会加法运算中的交换性[9]．

直到一年级第二学期“交换”一节中，交换这一名称才第一次正式出现．不过，此时还未作为运算定律正式给出，仅仅是一年级下册教材最后单元“整理与提高”对所学加法内容的拓展．教材要求根据数两部分郁金香的先后次序，列出不同的算式，求出结果．希望学生在数数到求和的过程中，初步建构“交换两个加数的位置，和不变”的概念[10]．同时，教材又设计了“67+12=，13+67=，67+14=，15+67=，67+16=”一组算式，把交换与“+1”模式相结合，希望学生以结构化的方式来认识交换，并初步体验运用“交换”进行推算的过程．

教材在二年级第一学期“两位数加减法复习”的第一课，设计了可用交换律进行简便运算的连加算式，比如18+27+32，12+26+48．不过此时教材并没要求学生运用交换律进行简便计算[11]．直到二年级第二学期，在“巧算”一节中，教材才用递等式，第一次展现运用交换律计算478+243+222的过程，即先交换加数得到478+222+243，再进行凑整运算[12]．

交换作为加法运算定律是在四年级第一学期“运算定律”一节中第一次正式呈现的．教材设计了“求两堆易拉罐总数”的现实情境，得到等式“8+18=18+8”，并通过更多举例，归纳出加法交换律．在给出加法交换律后，教材还通过习题让学生进一步体会运用交换律简化计算的过程[13]．

随着所学数系的扩充，通过类比整数的运算定律，加法交换律从整数推广至小数．在四年级第二学期“小数加减法的应用”[14]和五年级第一学期“小数的四则混合运算”中都设计了能够运用加法交换律进行简便运算的习题[15]．

从课程的设计来看，上海的数学课程通过循序渐进，逐步渗透的方法，试图在数的分与合、两种加法模型、不同的数数次序等情境中，促进儿童对加法交换律的理解，同时又强调了运用加法的交换律进行简便计算和推算．

那么在此课程背景下，上海的小学生理解和运用加法交换律的水平到底如何呢？具体而言：（1）他们如何判断形如+=+的等式相等？他们对加法交换律的理解水平达到了什么程度？（2）他们能否使用加法交换律进行简便计算？（3）他们能否依据加法的交换律，通过直接推算获得结果？

3 研究方法与过程

3.1 研究对象

根据上述背景可知，上海二年级的学生通过教材已经初步感受了加法的交换性，但又尚未正式学习加法交换律，因此他们对加法交换律的理解可能比其它年级的学生具有更多的特点．研究这个阶段的学生，对于了解学生对加法交换律的认识，更具有理论和现实意义．研究者从上海市一所小学二年级抽取被试．这所小学是上海徐汇区的公办小学，历史久远，学校的教学质量在全区位列前茅，社会评价程度较高．学校数学教学严格按照上海数学课程设置展开教学．教师根据学生的特点，依据数学教材实施教学．学校的学生是来自于教育局划分的学区，按户籍入学．学生的家长以工薪家庭为主，家长大多具有本科及以上学历．

研究者对低年级儿童运用加法交换律能力进行了探索，采用纸笔测试和深度访谈相结合的方法收集数据．一般来说，访谈的实施和资料的分析需要投入大量的时间和精力．因此采取的策略是先从小样本开始入手，在探索的过程中积累经验，为下一步开展大样本的研究提供分析框架和必要参考．参与研究的学生来自研究者之一执教的3个班级，她对学生的学习情况、性格等各方面比较了解，这样更加便于研究的实施和操作．这3个班是学校按照学生入学注册的信息随机分派的，因此从总体上来说，班级学生之间的能力可以看成是没有差别的．这3个班级人数在24到26之间不等，研究者从各班抽取了学号为3的倍数的学生，一共24名学生作为研究对象，其中恰有12名男生，12名女生．这样的抽样可以保证被试中包含了不同能力的学生．尽管这样的抽样也是为了提高结论的客观性，然而要得到一个更加一般化的结论，这些样本的容量还是很有局限性的．

3.2 测试和访谈

正如前面提到的那样，研究采用了抽样调查的方法收集数据，包含测试和访谈两部分．首先，通过纸笔测试掌握学生在各个问题上的具体表现，然后再针对学生的测试结果，通过深度访谈，弄清学生背后的思考过程，真实了解学生运用加法交换律的情况．由于二年级学生尚未学到“交换律”这一数学术语，故在实际访谈时，涉及“加法交换律”的内容，都用“加法的交换性”代替．

测试题的编制主要参考了教材内容的编排．正如前面提到的那样，教材在设计与加法交换律有关的问题时，主要有3种类型：第一是比较两个数交换后和的大小；第二是运用加法交换律简便计算；第三是运用加法交换律进行推算．另外，为了探究学生对加法交换律一般性的认识，在设计测试题的过程中，研究者有意拓展到了二年级学生尚未正式学习的知识领域——3位数的加法．具体而言，测试题一共为3道大题．

第一大题为判断题，共有4个小题，请学生判断这些等式是否成立：（1）3+5=5+3；（2）14+37=37+14；（3）24+68= 86+24；（4）485+256=256+485．

对于第一大题，在学生判断之后，访谈学生是如何判断的．具体的问题是：“能解释一下你是如何判断的吗？”根据前面Bermejo的研究，以及访谈的结果，把学生判别的依据分为：形式判断、交换位置、数字相同、分别求和、及其混合方法5个类别，具体的说明和例子见表1．不难发现在“形式判断”的类别中，学生不仅认识到了等式两边数字位置的交换，而且还清楚地表述了两边的运算类型．但是在“交换位置”的类别中，尽管他们也关注到了数字位置的交换，但是在解释的过程中，并没有提到“加”或“和”等关键的词语．这可能意味着学生还没有明确地认识到等号两边的运算类型．正如前面提到的，这样的性质并不对任何运算都成立．在“数字相同”的类别中，学生一方面没有特别关注数字的“交换”特点，同时也没有关注到等号两边的运算类型．

表1 判别等式a+b＝b+a的依据

在访谈学生如何判断3+5=5+3的过程中，有部分学生通过提供情境化的例子来解释他们的判断．然而，学生所给的例子，出现了各种不同的错误，这是研究者事先所未预料到的．不过，这些错误类型可以反映Resnick所说的学生认识的量化水平．小学儿童学习的加法交换律是从量化的情境中抽象出来的符号表达，通过对学生所举情境例子的分析，可以深刻理解学生对加法交换律含义的认识．

第二大题为计算题：（1）37+36+23；（2）28+101+72．两题均可运用加法交换律简便运算，并要求学生写出解答过程．对于第二大题，主要是针对学生书面的计算过程进行分析，判断他们是否会运用加法的交换律进行简便运算．需要说明的是，研究调查的时间在二年级第二学期，学生还没有正式学习3位数的加法，更没学习到“巧算”这一节——在这一节教材才开始用递等式的形式，第一次展现运用交换律计算．不过在二年级第一学期第一课“两位数加减法复习”中，尽管教材并没要求学生运用交换律进行简便计算，但是教师已经引导学生开始使用加法的交换律和结合律进行简便计算．因此，对于28+101+72这题而言，如果运用加法的交换律，先算两位数之和，即28+72=100，得到一个整百数，再加一个3位数，这样会降低计算的难度．否则，按照运算顺序先算两位数加3位数，得到一个新的3位数，再和两位数相加，这个对于尚未正式学习3位数相加的学生而言具有一定的挑战性．

第三大题是：64+37=101，37+64=．对于第三大题，希望学生根据前一个等式提供的信息，能直接根据加法交换律推出结果．然后通过分析学生的计算过程和访谈，了解他们具体采用的方法．访谈是这样进行的：如果学生没有写具体的解答过程，那么就问“你是如何得到这个结果的，能否解释一下”；如果学生写有计算过程，那么就问“这一步，怎么来的，能否解释一下”．

4 结果与分析

在这一部分，将逐一回答前面所提出的3个问题．首先根据研究中获得的数据和资料回答每个问题，然后再对这些结果进行分析和讨论，解释可能的原因．

4.1 运用加法交换律判断等式

（1）学生判断等式成立的依据．

所有学生对第一大题的判断全部正确．有8个学生能够运用加法交换律判断等式成立，即能自发地准确说出“交换两个加数的位置，和不变”（如表2）．

用“交换位置”的特点进行判断的学生一共有6人．比如，他们会说“它们（两个数）就是反了一下”．用“数字相同”的特点进行判断的学生一共有5人．比如，他们会说，“这边（左边）的数字和这边（右边）的数字是一模一样的”．在使用这些办法进行判断时，学生都没有去计算等式两边的算式．只有1名学生4道题都通过计算判断，当被问及“能否不通过计算判断”时，该学生表示“不能”．有4名学生采取了混合的方法判断等式．他们在第（1）题中是通过计算判断的，然而在其它题中则运用了“数字相同”（1人：A17）或“交换位置”（3人：A5，A6，A14）的特点进行判断．

表2 学生判断等式的依据

（2）关于儿童对加法交换律理解水平的讨论．

事实上判断等式“3+5=5+3”是否成立，只涉及10以内加法．在访谈中，研究者发现，对于10以内加法这一基本事实，学生已经烂熟于胸，不必运算就可以快速（或者说自动化地）获得两边之和，由此直接作为判断的依据．当他们遇到比较大的数字时，就开始运用等式的特征进行判断，不再进行计算．

前面提到Bermejo等人根据学生的判断，把儿童对加法交换律的理解划分了不同的认知水平．他们认为采用“分别求和”判断的儿童，其认知水平，要比采用“数字相同”和“交换位置”的学生来得高．但是在这里，除了3+5=5+3之外都涉及到了多位数的加法，如果采用“分别求和”判断，对于二年级的学生来说那是十分困难的，灵活的办法就是根据等式的特点进行判断，若把“分别求和”在此作为处于较高认知水平的判断依据，那肯定是不妥当的．事实上，在Bermejo的研究中，所有算式均是10以内的两个一位数相加，或者是20以内的一个一位数和一个两位数相加．也许在那样的情境中，他们对认识水平的划分是有意义的．

从前面的数据还可以看到，学生在判断形如+=+的等式是否成立的时候，不管数字有多少大，他们几乎都能根据等式的特点进行判断．不过，对于485+256=256+485涉及3位数的加法，此时对二年级学生而言，确实是一个新的情境．然而，几乎所有的学生都可以根据加法交换律的特点，直接做出正确的判断．按照Verschaffel的论断，如果学生能清楚地认识到对于任何整数，加法的交换律总是成立的，那么可以推测学生的理解在某种程度上已经达到了形式化的水平，至少是他们建立在经验观察基础上的结论[16]．按照这个说法，二年级的学生是否真得已经达到了这个水平？下面就从学生所举的例子中来窥豹一斑．

（3）学生在举例说明“3+5=5+3”中的表现．

就“3+5=5+3”这个等式，研究者请学生解释为什么总是成立的．其中有12个学生给出了日常实例子，并作了解释和说明．

一共有7人给出了合理的量化水平的例子．其中给出“合并”模型的有5人，分别是A3、A8、A20、A21、A23．比如，A8的例子为“5个苹果加3个苹果等于8个苹果，3个苹果加5个苹果还是8个苹果”．还有2个学生给出了“添加”模型的例子，分别是A13和A19．比如，A13的例子为“假如你有3个苹果，加上5个苹果，就是8个苹果；而你有5个苹果，再加上3个苹果，也是8个苹果”．

学生A7给出的例子是未量化的：“给他拿两个东西，然后给他交换一下位置，还是那两个东西．”按照Resnick的说法，这样的认识水平会比前面的7个学生低一些．

然而，还有4个学生所举的例子出现了问题，这些问题都与他们对加法的认识有关．比如，A4所举的例子是“有20双筷子和40只碗，一共是20+40=60；有40只碗和20双筷子，一共是40+20=60”．学生把不同的量相加，最后运算得到一个和，这个和表示哪个量呢？如果不给出明确的界定，那是没有意义的．

在A4所举的例子中，“20双筷子和40只碗”和“40只碗和20双筷子”其中涉及到“筷子”和“碗”的数量是分别相等的，仅仅是改变了次序．然而A6、A14和A8所举的例子，如“我有3只苹果、5只梨，小明有5只苹果、3只梨”．在现实的情境中,“我”苹果的数量与“小明”苹果的数量，“我”梨的数量与“小明”梨的数量都是不相等的．也就是说“3只苹果+5只梨=5只苹果+3只梨”在现实中是不成立的．但是对于纯数字的加法“3+5=5+3”却是成立的．由此可见，学生对于量的加法和数的加法还是存在一定程度上的混淆．这很可能会导致他们在现实情境中运用加法交换律的时候，产生混淆或者错误．概括起来说，尽管这4个学生都能直接判断两个多位数相加的等式是否相等，但是从他们所举的例子来看，由于他们对具体情境中加法认识的局限性妨碍了对加法交换律的理解．

（4）关于数、量加法的讨论．

前面提到，在教材中有这样的问题：大老虎有2只，小老虎有4只，合在一起共有几只老虎？2和4相加得到6，6既不表示大老虎，也不表示小老虎，只有指明6表示老虎时，这时才是有意义的．量的加法和数的加法是存在区别和联系的．数是一个抽象的概念，自然数的加法是指如果两个有限集合的交集为空集，那么一个集合的基数和另一个集合的基数之和等于这两个集合并集的基数．自然数加法的概念是从具体情境中抽象出来的，在具体的情境中表现为具体物理量的相加，物理量的运算要符合现实的意义，一般来说相同单位的量才能作加减．的确，有时表面上看起来没有问题的背后却隐藏着不小的问题．

另外，如果再把学生关于3+5=5+3的情境解释和他们在判断3+5=5+3采用的方法进行比较时，那么很容易发现学生在二者之间出现了不一致．在情境解释中，7个给出“合并”或“添加”模型的学生，他们都采用了分别求和的办法，说明等号左右两边量的相等关系．而他们在判断等式3+5=5+3的过程中却全部采用了其它的办法．同样，其他5个学生也分别出现了各种不一致．这不禁让人联想到关于“街头”和“学校”数学的有关研究，似乎在学生看来，生活中的数学和学校的数学是全然不同的，他们会采取全然不同的方法来处理甚至完全相同的问题[17]．

4.2 运用加法交换律简便运算

（1）学生运用加法交换律计算的情况．

在第二大题的计算中，有13个学生运用加法交换律对37+36+23简便运算，其中12人获得正确结果．对于28+101+72，有14人运用加法交换律简便计算，其中13人得到正确结果．也就是说差不多60%的学生能运用加法交换律简便计算．这个与判断等式相比，运用交换律的人数有了明显的下降．

（2）关于简便运算的讨论．

事实上，在判断形如+＝+的等式是否成立时，这些具体的等式均是加法交换律的特殊形式，具有外在明显一致的结构特征．然而与此相比，在3个数的加法算式中，用运算律简便计算就要复杂一些．首先要观察这个算式中加数的特征，判断能否凑整．然后根据加数的特征，采用运算律选择运算的顺序和运算的对象．比如，在37+36+23中，因为37和23可以凑整．为了实现这两个数相加，先要运用交换律，交换其中两个加数的位置，即37+(23+36)，或(36+37)+23，再运用加法的结合律，即(37+23)+36，或36+(37+23)达到凑整的目的．换言之，运用交换律简便运算的关键，是要去重构算式中的运算顺序和运算对象，这具有一定的隐蔽性．因此，也就导致了40%左右的学生没能化简计算．

那么现在有一个问题：学生在运用加法的交换律简便计算的时候，他们是否真正意识到了他们正在使用运算律呢？Vergnaud提出了“行动中的定理”（theorem-in-action）的说法，他认为学生经常会使用他们未曾意识到的性质或定理来计算或解决问题，也就是说这些性质和定理体现在他们的运算活动中，但还没有被他们概念化[18]．比如，学生把37+36+23等价变形为37+23+36，但有可能没有意识到自己正在使用加法的交换律．对于这个问题，在学生推算的过程中会发现一些端倪．

4.3 运用加法交换律推算

（1）学生在推算中的表现．

所谓推算，就是在已有算式运算结果的条件下，根据运算性质和算式之间的联系，推出相关算式的结果．在已知64+37=101的条件下，要求37+64的值．这两者在研究者看来联系十分紧密，但在学生看来却并非如此．只有7个学生运用了加法的交换律推算获得答案，其他的同学采取了不同的策略．在使用凑整法的3个学生中，其中2个学生使用了先凑整第一个加数，1个学生先凑整第二个加数．另外14个学生使用了竖式算法，12个笔算，2个口算（如表3）．

表3 学生在推算题中使用的策略

（2）关于学生在推算中使用策略的讨论．

对于凑整法，一年级第二册的教材在介绍两位数加两位数的时候，就明确使用了这样的算法．比如，教材在38+25的算式中，就示范了两种不同的凑整方法：（1）38+20=58，58+5=63；（2）38+2=40，40+23=63（P.33）．在这两种凑整的算法中，都是把第二个加数分成两个数之和，再把其中一个和前一个加数相加，显然是在自然数集上运用了加法的结合律．在学生“先算37+70=107，再算107–6=101”的方法中，事实上也采用了类似的做法：把64看作是70减去6的结果，然后37和70先相加，再减去6，即37+64= 37+(70–6)=(37+70)–6=107–6=101．本质上是使用加法的结合律．另外，在学生使用凑整法“先算40+64=104，再算104–3=101”的过程中，先把37看作是40减去3的结果，然后40与64先相加，再减去3．其实是同时运用了加法的结合律和交换律：37+64=(40–3)+64=(40+64)–3=104–3= 101．同样，对于竖式算法，本质上也是运用了加法的结合律和交换律：37+64=(30+7)+(60+4)=(30+60)+(7+4)=90+11= 101．因此，上述凑整和竖式计算的方法，事实上都运用了加法的运算律，但是在很大程度上学生并没有意识到这一点，否则他们会使用加法交换律直接进行推算了．也许他们只知道怎么算，却不知道为什么可以这样算，这也就是前面提到的所谓“行动中的定理”．

这个现象还有可能的原因是：学生在判断+=+成立的情境中，他们把等号理解为平衡相等，从而不用计算，直接做出判断．然而在“37+64=”的情境中，很多学生看到等号就想到了计算，在这个情境下，他们对等号的认识被囿于“指示计算”的水平[19]．

事实上，推算在一年级第二学期最后“整体和提高”这一单元的“交换”这一节中，教材已经设计了不少习题，希望学生能根据加法的交换律推算计算的结果．然而从调查的结果来看，教材的设计似乎对学生产生的正面影响不大．

5 结论与启发

加法交换律是小学数学中最基本的一个运算定律，看似简单，其实不然．尽管学生能根据数字特征快速判断形如+=+的等式是否成立，但是由于他们对加法的认识存在一定的局限性，因此导致了他们在现实情境中对加法交换律出现了不同程度的误解．也就是说，即使学生能根据加法交换律判断形如+=+的等式是否成立，也未必能说明他们真正理解了这个运算定律．在连加的计算中，近60%的学生能根据数字的特点，运用加法交换律进行计算，但是在简单的推算活动中，差不多70%的学生却没有意识到可以直接使用交换律得到结果．结合这两点来看，很多学生可能在使用运算律的过程中，还没有真正意识到他们在使用运算律．或者说，加法的交换律还没被学生概念化和结构化[20]．从这个角度而言，学生对于加法交换律的理解确实是一个逐步发展的过程，并不是一节课、几个活动、几个练习就能解决的问题．上海教材从一年级开始一直到五年级逐步渗透交换律充分考虑了学生的认知特征，这样的做法是可取的．

当前不同版本的教材均在四年级正式引入加法交换律这个概念，并使之符号化、一般化．教材一般的处理方式，首先是创设一个现实的情境，比如前面提到上教版是计算两堆易拉罐的总数，江苏版是数两人跳绳的总数[21]，人教版是计算两次行程的总长[22]．然后再根据不完全的归纳，得到加法交换律的一般表达．不少教师也按照这样的思路展开教学．不过，张奠宙等指出，如果仅仅是通过不完全归纳展开教学，那么并不能讲清楚为什么加法交换律在自然数集上是成立的，他们认为数数活动才是认识的本源[23]．事实上，项武义也曾采用数数的方法解释加法的交换律[24]．其实，上海、江苏的教材如果能对数易拉罐、数跳绳个数的情境略加拓展，完全可以实现这一点．不同的是，人教版使用的是计算两次长度之和的情境，这也是一个不错的办法．伍鸿熙就用线段模型来解释加法交换律，一条线段长度记作，另一条线段长度记作，把两条线段按照不同的次序连结起来，总长度不变就可以解释+=+[25]．线段模型的好处在于可以表示连续的量，可以在实数域上解释加法的交换律．

最后，需要特别指出的是，这个探索性的研究也引发了许多值得研究的新问题．比如，为何学生在具体情境中解释加法交换律的时候，会出现这么多的困难？为什么学生很少直接运用交换律进行推算？这些现象在二年级的学生中是否具有普遍性？随着学习的继续，这些问题会发生改变吗？不同教材对加法交换律的设计有何特点？对学生理解和认识交换律会产生什么样的影响？

[1] BAROODY A J, BERENT R, PACKMAN D. The use of mathematical structure by inner city children [J]. Focus on Learning Problems in Mathematics, 1982, 4 (2): 5–13.

[2] BROWN P G. Tests of development in children’s understanding of the law of natural numbers [J]. British Journal of Educational Psychology, 1970, 40 (3): 354.

[3] 柯普兰．儿童怎样学习数学——皮亚杰研究的教育含义[M]．上海：上海教育出版社，1985：130–151．

[4] BAROODY A J, GINSBURG H P, WAXMAN B. Children’s use of mathematical structure [J]. Journal for Research in Mathematics Education, 1983, 14 (3): 156–168.

[5] BAROODY A J, WILKINS J L M, TIILIKAINEN S H. The development of children’s understanding of additive commutativity: From protoquantitative concept to general concept [M] // BAROODY A J, DOWKER A. The development of arithmetic concepts and skills: Constructing adaptive expertise. Mahwah, NJ: Erlbaum, 2003: 127–160.

[6] RESNICK L B. From protoquantities to operators: Building mathematical competence on a foundation of everyday knowledge [M] // LEINHARDT G, PUTNAM R, HATTRUP R A. Analysis of arithmetic for mathematics teaching. Hillsdale. NJ: L. Erlbaum Associates, 1992: 373–425.

[7] BERMEJO V, RODRIGUEZ P. Children’s understanding of the commutative law of addition [J]. Learning and Instruction, 1993, 20 (1): 55–72.

[8] 王暁曦．児童の加法的可換性の理解に関する文献展望[J]．早稲田大学大学院教育学研究科紀要，2011，18（2）：111–120．

[9] 黄建弘．义务教育教科书数学一年级上册（试用本）[M]．上海：少年儿童出版社，2017：20–25，55–63．

[10] 黄建弘．义务教育教科书数学一年级下册（试用本）[M]．上海：少年儿童出版社，2017：67–68．

[11] 黄建弘．义务教育教科书数学二年级上册（试用本）[M]．上海：少年儿童出版社，2017：2–6．

[12] 黄建弘．义务教育教科书数学二年级下册（试用本）[M]．上海：少年儿童出版社，2017：69–70．

[13] 黄建弘．义务教育教科书数学四年级上册（试用本）[M]．上海：上海教育出版社，2017：60–67．

[14] 黄建弘．义务教育教科书数学四年级下册（试用本）[M]．上海：上海教育出版社，2017：43–46．

[15] 黄建弘．义务教育教科书数学五年级上册（试用本）[M]．上海：上海教育出版社，2017：76–78．

[16]  VERSCHAFFEL L, GREER B, DE CORTE E. Whole number concepts and operations [M] // LESTER F. Second handbook of research on mathematics teaching and learning. Charlotte, NC: Information Age Publishing Inc., 2007: 557–628.

[17]  VERGNAUD G. The theory of conceptual fields [J]. Human Development, 2009, 52 (2): 83–94.

[18]  NEMIROVSKY R, KELTON M L, CIVIL M. Toward a vibrant and socially significant informal mathematics education [M] // CAI J. Compendium for research in mathematics education. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, 2017: 90–101.

[19]  KIERAN C. Concepts associated with the equality symbol [J]. Educational Studies in Mathematics, 1981, 12 (3): 317–326.

[20]  LINCHEVSKI L, LIVNEH D. Structure sense: the relationship between algebraic and numerical contexts [J]. Educational Studies in Mathematics, 1999, 40 (2): 173–196.

[21] 孙丽谷，王林．义务教育教科书数学四年级下册[M]．南京：江苏教育出版社，2014：57．

[22] 卢江，杨刚．义务教育教科书数学四年级下册[M]．北京：人民教育出版社，2014：17．

[23] 张奠宙，戎松魁．正本清源，通过“数数”活动理解运算律——关于加法和乘法交换律的讨论[J]．教学月刊小学版（数学），2015（6）：4–6．

[24] 项武义．从算术到代数[M]．北京：科学出版社，1981：4–11．

[25] 伍鸿熙．数学家讲解小学数学[M]．北京：北京大学出版社，2016：32–43．

[责任编校：陈汉君、张楠]

An Exploratory Study of Second Grade Students’ Learning and Using the Commutative Property of Addition in Shanghai

HUANG Xing-feng1, SONG Chen-qie2, LI Ye-ping3

(1. Shanghai Normal University, International and Comparative Education Research Institute, Shanghai 200234, China; 2. Shanghai Xuhui District Xiangyang Primary School, Shanghai 200031, China; 3 Texas A&M University, College of Education & Human Development, Texas 77843, USA)

Arithmetic operational properties are important in elementary school and play a significant role in students’ further studies in mathematics. To address the problem of how students apply the commutative property of addition in different mathematical situations, this study was designed to investigate 24 second-grade students in an elementary school in Shanghai using a pencil-and-paper test and individual interviews. The research found that select students in second grade could use the commutative property of addition to directly judge whether an equation, such as “+=+,” is established. About 60% of the students could utilize the commutative property of addition as a short-cut strategy to quickly calculate addition involving two-digit and three-digit numbers, but they had some misconceptions in realistic contexts because of their limited understanding of addition. However, only 30% of the students could consciously use the commutative property of addition in computation deductively. The results suggest that many students are able to use the commutative property in direct computation, but they haven’t achieved a conceptual understanding of the commutative property.

commutative property of addition; equation; short-cut strategy for computation; deductive computation

G421

A

1004–9894（2020）04–0038–06

黄兴丰，宋忱慊，李业平．上海二年级学生运用加法交换律的探索性研究[J]．数学教育学报，2020，29（4）：38-43．

2020–02–12

2016年度上海市教育科研市级课题——发展小学儿童代数思维的行动研究（C160050）

黄兴丰（1974—）男，江苏南通人，副教授，博士，硕士生导师，主要从事中小学数学教学研究．