以数学史为依据改进小学数学教学的行动研究

梁燕

摘 要：数学学习需要阅读，数学教学也需要阅读，尤其是对数学史的阅读，即多比较、多挖掘、多追问，梳理人类认识提升的各个时期，细究一个时期到另一个时期以什么为标志，突破了什么，是什么形成了这个突破。只有把握住知识形成的过程，才能在教学过程中更好地呈现知识的来龙去脉。文章以教学片段为例论述如何通过阅读数学史梳理教学关键，让教师对“教什么”和“怎么教”这两个问题犹如醍醐灌顶。

关键词：数学阅读；数学史；数学教学

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 收稿日期：2019-11-22 文章编号：1674-120X（2020）15-0070-02

人们对“数学阅读”的理解，有狭义和广义之分。狭义的观点认为，数学阅读的载体是教材、习题，是以解决问题为目的，通过读题、审题，来提取、分析数学信息的数学活动。广义的观点认为，数学阅读的载体除了包括数学教材、习题之外，还包括更为广泛的数学材料。数学阅读就是对这些广泛的数学材料进行数学化分析（信息提取、转译、内化），形成并表达自己的数学观点的过程。

在以往的研究中，研究对象多为学生，研究方向指向如何将数学阅读与日常教学结合，如何培养学生的阅读习惯以及提升学生的数学阅读能力等。从教学的角度看，数学阅读可以作为学习资料、教学资源的补充，还可以作为教学活动的延伸，丰富学生课余时间的数学活动。由此可见，数学阅读不僅能凸显数学的本质，还能提升学生的数学素养。但在现有的研究成果中，很少有人专门研究教师如何通过数学阅读活动来提高自身的教学能力和数学素养。难道数学阅读的主角只能是学生吗？教师应该如何开展有益于专业能力提升的数学阅读活动呢？

笔者通过对数学史的阅读和思考，发现数学史不应该只是作为课外阅读资料呈现给学生。从教研的角度看，阅读数学史不仅可以帮助教师在历史中甄别学生的学习障碍，还可以帮助教师从数学发展过程中筛选出教学重点、抓准教学难点。总之，数学阅读，尤其是对数学史的阅读，应是学生与教师共同进行的数学活动，是教学与教研不可或缺的内容。

一、通过数学史甄别学生的学习障碍，抓准教学难点

笔者对比了北师大版、苏教版、青岛版教材后发现，三个版本的教材都是通过气温高低、海拔高度这类生活现象，直观地引入对正、负数的认识。教材编写的意图是通过具体情境，让学生体会引入负数的必要性，先通过温度高低这个情境扩展“0”的意义，再由海拔高度这一知识帮助学生加深对“0”的理解，最终帮助学生认识到“为什么0既不是正数也不是负数”这一抽象概念。但是，这样的教学没有涉及数学的真问题——“负数从何而来？”

正数、负数表示生活中相反意义的量。理解意义不难，认识负数也很简单，但是历史却告诉我们：人类在数学中理解负数，用了2 000年左右。比起认识自然数、分数，认识负数需要更强的抽象思维能力。历史上，帕斯卡认为“从0减去4纯粹是胡说！”笛卡尔也认为负数是“不合理的数”。施蒂费尔认为负数荒谬的原因是“小于一无所有”，即比0更小，0表示什么都没有，这就已经到了尽头了，而负数比“什么都没有”还要少，这怎么可能？在当时，“0表示没有，是最小的数”是基本数学常识，而认识负数却要颠覆这种常识。数学家尚且如此纠结，更何况学生呢？梳理至此，本课的教学重点聚焦到对“0”的重新认识，这更是本课的教学难点，只有重新认识了“0”，才能真正理解负数。

“认识负数”教学片段：

环节一：重新认识“0”

师：出示动画人物的合影，这里有几位动画人物？去掉五位动画人物，只留下背景，现在呢？在我们尺子上的“0”也表示没有吗？

引入资料，熊大身高184cm，光头强身高174cm，吉吉身高164cm。讨论，如果以吉吉的身高为标准，他们三人的高矮情况如何？

生：光头强比吉吉高10cm，熊大比吉吉高20cm。

师：如下表所示，以吉吉的身高为标准，请你找个数表示他的身高，你觉得是哪个数？

设计意图：本环节让学生知道0的意义有多种，在新的情境中对0的意义还可以进行拓展。用0来表示比较的标准这点并不难。

环节二：体会“意义相反的量”

师：三人比身高，只能以吉吉为标准吗？

如下表所示，这是我们以谁的身高作为标准进行比较的？

生：以光头强为标准，因为把他的身高看作了0。

师：熊大和光头强的身高差10cm，吉吉和光头强的身高也差10cm，所以表格这么记，有问题吗？

生：他俩好像一样高了，看不出谁高谁低了。

师：以光头强的身高为标准，熊大比光头强高10cm，而吉吉比光头强矮10cm，这样一组相反意义的量还能用我们以前学过的数表示吗？

师：思考一下，怎样记录就能一眼清楚地看出熊大是高10cm，吉吉是矮10cm呢？

设计意图：相反意义有绝对相反和相对相反之分，相对相反不是天然形成的，而是通过和标准比较得出来的。有了比较标准，才能产生相反意义的比较结果。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求“在熟悉的生活情境中了解负数的意义”，因此本课各环节紧扣比较身高这一情境，以便学生重新认识0，理解“相反意义的量”，为结合几何在直观中把握负数和0之间的关系积累学习经验。鉴于负数产生的历史，我们不难发现，学习数学难，不仅是因为知识的抽象性，还在于某些概念在建构时附带的负迁移，甚至颠覆已有常识，超越个体认知。数学教育家波利亚说过：“只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识，我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识做出更好的判断。”教师只有通过阅读数学史才能准确甄别学生的数学学习障碍。

二、通过数学史筛选教学重点

笔者对比了北师大版、苏教版、人教版教材后发现，关于本课内容，各版本教材中提供的数学阅读资料都有限。北师大版教材中介绍了“代数学之父”丢番图，苏教版教材中提到了韦达在代数学发展过程中的作用，而人教版教材中没有提及任何数学家，只在七年级上册“一元一次方程”单元的数学阅读材料中简单地介绍了花拉子米、笛卡尔对代数学发展的贡献，还介绍了中国宋代数学家李冶在方程方面的研究成果。代数这门学科为什么会有这么多代表性的人物？到底是谁最先赋予它无穷魅力的呢？

回顾这段历史，我们不难发现，虽然丢番图和韦达都用字母表示数，但两者的区别在于一个表示的是一个数，另一个表示的是一类数。按丢番图的方法，每一个字母都具有特定的意思，所以丢番图解方程一题一法。而韦达所用的字母已经不表示具体的意思，只是一个符号，从而引导人们关注数量中的共性，谋求同类问题的统一解法。丢番图方法的本质是替代，而韦达方法的本质是抽象，这是数学思想的进化。

显然，在“用字母表示数”的教学中，教师应把课堂上的学生放到数学史的视野中，在具体的情境下，让学生经历用字母表示数的抽象过程，体会用字母表示数的本质意义，领悟数学符号的概括性。

“用字母表示数”的教学片段：

环节一：唤醒已有知识经验，准备建构新的概念。

师：生活中运用字母表示特定含义，如教室门高2.2m，我们可以把这个数量表示成什么呢？这里的m是英语单词“meter”的缩写。

师：在数学中，字母的运用更多地体现在其他方面。例如，3，6，9，x，15，…這里的x表示什么意思？

师：在这一数列中，x表示多少？能表示其他数吗？看来它还是一个特定的数。

设计意图：新知总是建立在已有的知识和经验的基础之上的，已有知识和经验的模糊、杂乱对新知学习形成了一种干扰。特别是用字母表示数是对学生原有认知的跨越，学生更应该结合已有知识更为清晰地认识字母应用的特点。这种认识越清晰，也就越容易体会用字母表示数发生了什么变化。

环节二：在情境中经历用字母表示数的抽象概括过程。

师：每3根小棒可以搭成一个三角形，摆2个三角形需要几根小棒？3个三角形呢？4个呢？请用算式来表示摆三角形用的小棒数量。你有什么发现呢？

生：一个三角形的小棒根数是不变的，所以这些算式里都有一个乘数是3。

师：因为三角形可以一直这样摆下去，所以永远也写不完。那么你能用一道算式表示活动中的所有情况吗？

师：这个字母表面上只是一个字母，但它却能表示……

生：无数个数。

设计意图：历史告诉我们，韦达的高明之处就在于用字母表示了方程中未知数前面的系数。这样做不是因为对系数不了解，而是用字母去概括它们，可以获得更为一般的方程。在教学过程中，为了突破这一难点，先有意在前一环节中借用生活经验作为铺垫，接着在本环节中让学生对数学现象进行概括，帮助学生初步实现认知上的跨越。

本片段重在体现虽然丢番图和韦达都是用字母表示数，但两者有本质上的不同。缩写代数与符号代数两者是如此不同，所以在教学中才刻意地引导学生区别缩写表示和抽象表示，体会字母已经成为一种数学符号，不存在任何具体意义。

在以往备课过程中，教师往往通过阅读数学史，提取教学资源，并且选择一些富有知识性和趣味性的内容，点缀一下课堂，或者借助数学阅读将课上活动延伸到课下进行。教师很少考虑如何利用这些资源启发、鼓励、帮助和组织学生参与更有意义的数学活动。教师只有通过数学阅读梳理数学历史，才能站在人类社会发展的层面去品评历史、审视教学内容，才会发现数学教学不是要求学生将数学作为工具使用，而是将数学知识视作人类社会活动的产物，因而学生学习数学的过程实质是经历社会活动的过程。

参考文献：

[1]蔡天新.数学简史[M].北京：中信出版社，2017.

[2]郜舒竹.小学数学这样教[M].上海：华东师范大学出版社，2015.