数学给我的影响

摘要：提出分享式教学，数学给我的影响最大，主要体现在两点：一是公理化思想，二是数学抽象的特征——去个性化、去情境化、去时间化。分享式教学有三个“公理”。第一，我们的能力是有限的，需要群居合作而生存;我们的感官带有局限，需要分享智慧而发展。第二，教育不可有悖人的天性：好奇，好探究，好秩序，好分享。第三，教育要让我们的学生学会像一般人一样思考：“问题—思考—分享”。公理化思想有助于我们梳理已有的教育理念;而去个性化、去情境化、去时间化，有助于我们去寻找适合不同情境、不同个性、不同时间的课堂教学中的共同规律，重建课堂教学的规则。

关键词：分享式教学公理化抽象教学规则

高中时，我是最讨厌数学的。尤其是数学习题，太多了，总也做不完，人们叫它“题海”，我可不想在题海里淹死。高三一年，我只是完成老师安排的、必须上交的数学作业，没有做过一道课外的数学习题，包括老师布置的课本上的练习题。高考前，不会写步骤，就买了一本《数学习题解》看步骤是怎么写的，还记得那本书是内蒙古人民出版社出版的。高考成绩出来后，数学分数最低，却阴差阳错地归了数学专业。如今，我提出分享式教学，自认为数学给我的影响最大。那么，数学给了我哪些影响呢？

我想结合我提出的分享式教学谈一点看法。这不奇怪，谈影响，是要联系到具体的某一方面的。

一、 公理化思想

我们初中学习的平面几何体系，就是建立在公理化基础上的。但老师们并不一定知道公理化。我在山东某中学做业务校长时，有次组织数学教研组长会，提到公理化思想。一位组长说：“我不知道什么是公理化思想。这个只有你们搞研究的人才关心吧。”这事过去二十多年了，这位老师的质疑一直萦绕在我心头。数学教学最有价值的内容是什么？怎么才能让我们的老师体会到数学的价值？如果老师都体会不到数学的价值，又怎么能让学生体会到它的价值？这个问题至今无法排解。

那么，什么是公理化呢？公理化是一种数学方法，抑或说是一种思想。二千多年前的欧几里得，把几何中的结论分为基本概念和公理、定理，并梳理出了它们之间的关系。他总结概括出14个基本命题，然后由此出发，运用演绎方法将当时所知的全部几何学知识推演出来，整理成一套演绎体系。简单说，就是几何中存在的那么多定理、推论，向上溯源，其实都是有其“生母”的——就是那么几条公理，衍生出了众多的“儿孙”。

有人说：“任何真正的科学都始于原理，以它们为基础，并由之而导出一切结果来。”这种思想，已影响到现在的各个学科。我们不要把这句话仅当成一个事实的陈述。对这句话的深思，会让我们突破“已有公理化”的樊篱，自己去尝试创立新的公理体系。

自然，我的这种想法不会得到那些“正统观念”的认可。在一次全国性高级研讨班研讨活动中，我就提出过这个观点，希望我们的老师能从教育的本真处去思考，基于问题，然后提出自己的观点，不要动辄引述西方或某名人的论典，只会为现有的理论做补缀的案例。我的观点刚说完，有一位专家马上就站起来反驳了。他希望老师们不要想太高，要先做好实践和案例工作。他也是好意，怕老师们好高骛远，耽误了大好时光。

其实，我知道，与我观点相左的大有人在。比如，马复主编的义务教育数学课程标准实验教科书《数学》教材，一开始提出局部公理化处理方式、扩大的公理化方式，就被很多人扛出欧氏公理化的大旗反对。这些反对者可能忘记了不同的公理可以推衍出不同的科学体系这样的发展史实。

2005年我到了北京，有人知道我有杜郎口中学的背景，问我：“杜郎口中学教学方式的理论依据在哪？”我也尝试着用现有的理论去解释“类杜郎口现象”。结果发现，我所知道的现有的理论都无法全面解释“类杜郎口现象”。

當现有理论无法解释新的现象时，是需要有新的理论产生的。这本来是历史发展的必然，但由于我们缺少公理化思想的思考，很多人不是去尝试建构理论，而是对“类杜郎口现象”进行各种质疑，甚至贴上了“杜郎口是教育的怪胎”的标签。

于是，我想到了公理化方法，希望寻找到更合理的解释。如何寻找？现在想，道理很简单。就像大树的分支、江河的支流，现有的理论只能解释它下面分支的部分现象，不能解释全部，要寻找能解释全部现象的理论，我们只能往根部寻找，往上流寻找。显然，我们需要思考人的天性是什么？人是怎样思考和理解问题的？这些应当是本初的东西。

关于人的天性，也有不同的解释，由此产生了不同的科学。如经济学之父亚当·斯密由人的自利性和利他性提出了市场经济学。古来也有人性本恶，性本善之争。基督教认为，人性本恶，人生而有原罪，于是倡导人要赎罪。儒家学说认为“人之初，性本善”，于是有“大学之道，在明明德”。

那么，对于教育者来说，人的本性是什么呢？我认为人的天性是好奇、好探究、好秩序、好分享。人没有好奇、好探究的欲望，便无法在世间存活和发展。这“四大天性”是人类社会进化、历史选择的结果。以此为出发点，我提出分享式教学。其三个“公理”如下：

第一，我们的能力是有限的，需要群居合作而生存;我们的感官带有局限，需要分享智慧而发展。

不是吗？我们的四肢没有猎豹般灵巧，不能箭矢般地为追获猎物奔跑，遇到灾难时也不能飞速脱逃;我们无虎狼的獠牙和利爪，不能遂心如意地撕咬捕获的食物;我们无野牛的尖角，遇上敌人的侵害时能对来犯者头抵角挑……我们是脆弱的，注定我们不能如虎独步山林，不能似熊孤影北极。

承认我们的身体天生是弱小的，就需要成员间群居合作而生存;承认我们的感官天生带有局限，就需要成员间分享智慧而发展。群居的生活，交往、分享变得无比重要。上古集体狩猎，要分享猎物，才能延活生命;近代更是分享、合作，才能有蛟龙入海，神舟授课。

知道了我们的局限，需要我们远离傲慢和偏见，放下经验和情感，不小看每一个人，不高估自己的观点，谨记：每个人对世间人和事的看法可能都是一孔之见，需要借助和他人的分享才能补充完善。

第二，教育不可有悖人的天性：好奇，好探究，好秩序，好分享。

商界成功的要素一定是能满足客户的需求。同样的道理，教育教学的成功也一定是体现在能满足学生的需求。什么是需求？从某种意义上说，可以有这样的等式：需求=能力+欲望。《基础教育课程改革纲要（试行）》指出：“义务教育课程标准应适应普及义务教育的要求，让绝大多数学生经过努力都能够达到，体现国家对公民素质的基本要求，着眼于培养学生终身学习的愿望和能力。”需求包含愿望和能力两个方面。而我们的教学，关注更多的是能力部分，少了“欲望”方面：我们关注课前调研，前测学生知识的基础缺陷，想千方设百计，试图从不同的讲授角度去突破学生的认知难点，但对学生想什么却关注不够。

人是好奇的、好探究的、好秩序的、好分享的。那么，这四大天性之间有什么关系？又和我们的教学有什么关联呢？

人们对未知的世界是好奇的，产生了好奇心，总希望自己能一探究竟。那么，这种探究到什么程度为止呢？到自己能够理解了，把未知转化为已知，感到世界在一个统一的秩序中，自己能够解释了，心理得到一种慰藉才肯罢休。简单说，人生来是讲理的，讲公道，论公平，求平等。当人们经过思考，得到对未知世界的解释或产生新的疑惑，人们会把这种思考的经历分享给别人，以取得社会成员间同伴的认可，品尝成功的喜悦，或在同伴间的分享中将自己的思考再得到进一步发展和提升。

好奇、好探究、好秩序、好分享，既可以将此看成是人的四大天性，也可以将它们看成人们探究未知世界的四个过程。由分享得到的成功喜悅，又会成为新的探索的动力。我们需要注意的是，这四大天性之间无须指令和助力，思维会自动顺畅地往前发展。

由四大天性，我们会推出下面的“定理”：把情境给学生， 学生好奇的眼睛会发现问题;把问题给学生， 学生好探究的大脑能想到办法;把困惑给学生， 学生好讲理的天性能让思维更缜密;把空间给学生，学生会在分享中品尝到快乐。

第三，教育要让我们的学生学会像一般人一样思考：“问题—思考—分享”。

一般人的思维方式和学习方式，与人的天性一样，是人类社会进化的结果，是历史的选择。我们不能总用带有个性化的、部分聪明人的学习方式来教孩子，而忽视了人类长期进化的文明成果。

由此，我们提出“教学的基本单元应当与思考问题的基本单元一致：问题—思考—分享”。这样一来，我们不仅能解释“类杜郎口现象”，而且我们的教学会变得简单多了。把教学变得简单，其中一个表现就是，教师不要在一些细小问题上进行一厢情愿的精心设计。这既可以大大减轻教师的负担，让教师教得轻松，又能促使学生自主提问，自由思考，自在分享，学得轻松快乐。更重要的是，这样可以培养学生独立的人格。

这些想法，主要是受数学的公理化思想的影响。

二、 抽象的特征：去个性化，去情境化，去时间化

谈抽象，不能不说去个性化、去情境化、去时间化。有了这“三去”，我们才能做到数学的抽象。

史宁中教授曾把世界上的学问分为科学与艺术两种。并指出，科学的结论是一般的，与时间、地点、人物无关;而艺术的结论是个性的，因时间、因人、因地而异。数学的结论是抽象的，一般性的，也就说，数学的结论是去个性、去情境、去时间的。也正因为这样，数学的结论才具有了普适性。

先说去个性化。

我们知道，3只鸡加上4只鸡用数学算式表示就是3+4，3只狗加上4只狗用数学算式表示也是3+4……不仅如此，更一般地，一个集合中的元素数是a，另一个集合中的元素个数是b，那么，这两个集合一共有a+b个元素。至于这a、b是鸡是狗还是人我们都统统不去管，这是去个性化的。

去情境化也不是那么难理解。

路途有限速，某人开车，说：“这一段没有摄像头， 也没有交警，可以开快一点。”你看，这行车的速度是与具体情境中有无监督相联系的。当然，限速本身的规则也是离不开情境的：前方有学校，速度要慢一些;高速路上，速度要快一些。限速多少也是与具体情境相联的。

而数学就不同了，它的结论不是情境的函数，是不能随着环境的变化、情境的异同而发生变化的。8+9=17，在中国是这样，在美国也是如此。

最后再说去时间化。

听到过这样一则“笑话”：

中华人民共和国成立初期，有领导去西部听课，听的是数学课。教师对学生说：“‘加减乘除并不难，后算乘除先加减。也就是四则运算要记清，先加减，后乘除。”课后，领导指出其错误，该教师态度极为诚恳，连连表示下节课改之。第二节课，教师严肃地说：“上节课老师犯了个错误，应该是：‘加减乘除并不难，先算乘除再加减。至于我们昨天说的‘先加减，后乘除，那是中华人民共和国成立前的算法，现在改过来了。”

数学的结论是去时间化的，不会随时间的流逝而变化。

那么，去个性化、去情境化、去时间化对我们数学课堂教学规则的重建有什么帮助和启发呢？

正是因为数学是去个性化的，数学才能针对所有的对象;正是因为数学是去情境化的，数学才能适用于任何的情境;正是因为数学是去时间化的，数学才会普适于世间不同的时间和角落。有了数学抽象的结论，才有了数学思想方法的普遍适用性。普遍的适用性可以给我们带来什么好处呢？数学家庞加莱说过一句话：“仅仅着眼于直接应用的那些人，他们不会给后世留下任何东西，当面临新的需要时，一切都必须重新开始。”有了抽象的结论，我们不用每次都回到出发点去，可以省掉大量的再探索过程。

由此，我们可以再看一下我们的课堂教学：哪些是可以去个性化的？哪些是可以去情境化的？哪些是可以去时间化的？我们把这些内容找出来，考虑一下是否可以将其作为我们课堂教学的规则。如果可以，则用其规范课堂中师生的行为，以此形成良好的行为习惯。岂非乐哉？

以举手发言为例。

在我们的课堂上，举手发言可以说是一条入学必知、人人要执行的规则。之所以叫规则，就是这条“举手发言”具备前面说的“三去”特征：去个性化——淘气发言要举手，聪聪发言也要举手，人人都要遵守;去情境化——在张老师的物理课堂上如此，在王老师的语文课堂也是如此;去时间化——在幼儿园时这样，上了高中，入了大学，也是照旧。

合理与否呢？单从经济效益上考虑就大有可探究的必要。你想，如果你是学生，要发言，需要经过一个怎样的思维过程：产生想法，获得老师允许发言的指令，组织语言，决定发言与否，举手示意，引起老师注意，老师应允，起立发言。如果你是老师呢？决定要不要让学生发言，允许学生举手发言，观察举手的学生，选择发言的对象，发出应允指令……在这一系列的过程中，我们会发现，无论是老师还是学生，仅为发言这一个行为就要经历很多的思维环节。而这些环节都是花费在过程的执行途中，并不能产生思维的价值。在分享式教学的课堂上，去掉了这一个规则，改为站起来就说，我们可以比较一下，省略了多少思维过程。

重建新的课堂规则，其中有一项原则是“名师经验‘成文化”

课堂规则的重建，还有这样一些原则：基于对学生的理解和欣赏，处理好目的与手段的关系，让行动从无序到有序，考虑学生的心灵感受，注重体现程序民主化，让学生远离个人权威，用非常规的方式思考等。。

“只可欣赏，不好模仿。”“是至爱，学不来。”常常听到老师们发出这样的声音。名师之所以得到众人的认同，各有其掌控课堂的超人之处。而我们为什么会说“学不来”？

名师掌控课堂的规则是存于内心的，并不是公开的，这些规则源于他们多年的经验积累形成的习惯，并非操作机器使用的说明书写成明文的。这需要我们把名师的经验由“习惯”到“成文”，由“秘密”到“公开”。这有点像法学的发展历史。法学的發展就经历了一个由“秘密法”到“公开法”，由“习惯法”到“成文法”的发展过程。

天才并非天生。从天才人物身上找到大众可以汲取的、共性的财富，这是教育者的责任。

华应龙、吴正宪、孙维刚……这些名师身上的共性是什么？就是去个性化、去情境化、去时间化以后尚存的那些做法。

“微笑、轻声、躬身、多听”就是名师身上的共同素养。比如“微笑”，这不是某一位名师身上才具备的特征，而是所有名师必备的素养。无论是吴正宪老师、刘可钦老师还是孙维刚老师，他们脸上的微笑，让我们看到的是他们对教育、对学生的爱，看到的是他们为人的低调谦和、包容大度。“微笑”是去个性化的、去情境化的、去时间化的，需要我们将“微笑”作为一个规则去遵守、去践行，以形成习惯，陶冶性情。

克莱因的名著《古今数学思想》中有这样的话：“现在的根，深扎在过去，而对于寻求理解‘现在之所以成为现在这样子的人们来说，过去的每一事件都不是无关的。”研究名师的课，继承前辈们的优良传统，需要我们用数学的抽象思想，做好去个性化、去情境化、去时间化的细致的工作。

在“三去”上做文章，我认为是世界文化发展的一种主要方式。比如，一提到秦始皇，我们除了想到他的“焚书坑儒”外，还会想到他的“统一度量衡”，这“统一度量衡”其实就是做了去个性化、去情境化、去时间化的工作。

而规则的建立，就可以省去我们的重复劳动，体现人的聪明。这句话是什么意思呢？有两层意思。其一，从过去的经验中提炼出的规则，以后可用。其二，提炼出的规则，要针对具体的情境。也就是说，规则的使用要针对不同的人、不同的场所、不同的时间，要具体问题具体分析，而不能生搬硬套。人的聪明，就体现在对具体情境中的问题的确认、解决问题方法的对比和诸方法优劣的判断，以及最终的方法选择。

改革的实质是规则的重建。分享式教学，就是基于对传统课堂的反思，基于对历年来优秀教师的智慧，将新的课堂规则的提炼作为一项重要任务。

注意，规则的建立不是人们搞的小聪明，不能创造一些无用的“八股规则”。规则总结后的应用，还是需要费脑子做分析、对比、选择等一系列工作的，妄想不用“对症”就“下药”，就是有害的了。比如，凡表扬，均为“棒、棒、棒”;凡提问题，不假思考地就问“是什么”“为什么”“怎么做”。再好的规则，离了对具体问题的思考都是对“规则”的一种“虐待”。

我们生活在规则中。只不过生活中的规则，有的并不像数学中的规则那样严谨，不如数学中的“三去”那样“去”得干净利落。比如，我们的姓名就是一种规则，不管何地何时都是这个姓名，这是去时间、去情境的，但未必去个性。

分享式教学之所以能打破学段和学科的界限，就在于一开始便立足去寻找适合不同情境、不同个性、不同时间的课堂教学中的共同的规律。

懂得抽象，知道“三去”并不是科学家的专利。小孩子也知道。就比如，你今天出门穿了一身西服，明天出门你换了一身中山装，小孩子不会因你换了衣服错认为是他人而不让你进家门。美国《科学美国人》月刊网站报道，儿童天生就会试验科学的一个关键手法，就是通过分离出变量并分别检测这些变量来获取信息。科学家先向孩子们展示某些塑料珠子单独放在一个特殊的盒子上时会使绿色LED光闪烁并播放音乐。然后，科学家拿出来两对珠子，一对粘在一起，另一对可以分开，并向这些孩子演示，两对珠子放在盒子上的时候都可以启动机器——由此可以判断，每对珠子可能只有一颗起作用。接下来，科学家让这些孩子自己玩，想知道他们会不会把珠子分开，分别放在机器上，确定究竟是哪颗珠子启动了机器。孩子们做到了。他们强烈地感觉到，只有分别试验每颗珠子才能弄清答案。于是，他们做出了任何一位科学家都没有想象到的事情：当两颗珠子粘在一起时，他们竖着拿珠子，这样每次就只有一颗珠子接触到盒子。斯坦福大学的诺厄·古德曼说，这显示出他们分离因果变量的惊人决心。他说：“他们实际上设计出一项试验以获得想要的信息。”这种分离变量的方法，实质与“三去”是相同的。“教育者由此得到的启示是，发扬儿童对科学的直觉，同时在抽象概念和现实生活的谜题之间建立更好的联系。”

参考文献：

[1] 莫里斯·克莱因.古今数学思想（一）[M].张理京，张锦炎，江泽涵，译.上海：上海科学技术出版社，2002.

[2] 昂利·彭加勒.科学与方法[M].李醒民，译.北京：商务印书馆，2006.

[3] 任景业.分享孩子的智慧——改进教学的建议[M] .长春：东北师范大学出版社，2014.

[4] 任景业.建构分享式教育教学公理化体系的尝试[J].辽宁教育，2015（15）.

（任景业，山东省聊城市茌平区周楼小学数学教师。分享式教学倡导者。新世纪小学数学教材（北师大版）编委、山东版初中数学教材编委。曾任教育部北京师范大学基础教育课程中心数学工作室副研究员、访问学者。北京大学“国培”教学专家组组长。著有《分享孩子的智慧——改进教学的建议》《关注思维的细节——读懂孩子的建议》《走进孩子的课堂——研读课标的建议》《分享式教学实操指南》等。 ）