基于APOS模型下的函数单调性的概念教学

宋纤纤

摘 要：函数的单调性是一节概念课，其教学设计遵于APOS理论的四个阶段，设计6个环节。APOS理论是针对数学概念学习建立的，有利于突破函数单调性的抽象性，因此通过此教学设计对如何培养学生的数学抽象能力做了初步的探讨。

关键词：APOS;单调性;数学抽象

中图分类号：G633.6文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2020）13-091-1

本文基于APOS模型理论设计了“函数的单调性”，函数的单调性是一节概念课，抽象出函数单调性的定义是一难点。APOS理论是是美国的杜宾斯基等人针对学生数学概念学习建立的，他们认为学生学习数学概念是需要心理建构的，这一建构过程经历四个阶段：Action（活动）——Process（过程）——Object（对象）——Scheme（概型）。基于此模型，可突破数学概念的抽象性，因此本文从以下两部分进行阐述。

一、基于APOS理论函数单调性的教学设计

第一阶段：直观感知（活动阶段）——感性认知，直观理解

环节1 创设情景

1.说出初中学过函数（一次函数，二次函数，反比例函数）图象的变化情况

【设计意图】 让学生从图象直接看出图象上升或下降的变化趋势，直观感知函数单调性。

环节2 探索新知

第二阶段：归纳概括（过程阶段）——理性认知，归纳本质

问题1：如何利用函数解析式来刻画图象的上升或下降趋势呢？

以y=x2为例，通过五点作图法，描点画出其图象

分析：通过图象发现当x>0时，图象是上升的，当x<0时，图象是下降的。通过列表发现当x>0时，自变量变大，函数值变大，当x<0时，自变量变大，函数值变小。结合图象和表格，发现当1<2时，f（1）

第三阶段：综合分析（对象阶段）——理性分析，概念符号化

环节3 概念形成

问题2：只取自变量的某两个值，比较它们函数值的大小关系能说明二次函数在[0，+∞）上是增函数吗？如果不能，那应该怎么取？

分析：3个不行，100个不行，1000个不行，有限个也不行，无数个也不行，应该要取遍其每一个，也就是所有，所有在数学中用任意来表示，所以在定义中应该补上任意。并且通过几何画板的动态展示，直观感受“任意”二字。因此，我们得到增函数的完整定义。这从形到数的过程，体现了数学抽象这一核心素养。

【设计意图】 由直观感受转变为数学抽象定义，培养学生数学抽象和直观想象的能力，以及让学生体会数形结合思想：数缺形时少直观，形少数时难入微，经历从特殊到一般的研究方法。

第四阶段：综合运用（概型阶段）——形成图式，辨析概念

环节4 应用举例

例1：下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f（x），根据图象说出函数的单调增区间和单调减区间。

环节6 小结回顾

1.四个概念

2.证明单调性的五个步骤

3.涉及的核心素养：数学抽象、直观想象、逻辑推理

二、教学反思

函数的单调性具有抽象性，教师通过已学过的函数图象，直观感受函数的单调性，建立新旧知识的联系，并且通过熟悉的函数y=x2分析增函数的符号表示，从特殊到一般，从易到难，层层递进，帮助学生理解其符号表示。

从本节教学设计出发，笔者对培养学生数学抽象能力提出以下建议：

1.注重知识过程形成，积累活动经验。

教师设计符合学生的认知水平的各类“活动”，引发学生思考，学生通过自主探究，从具体到抽象获得概念形成，从特殊到一般，有助于学生揭示概念的本质，提升数学抽象能力。

2.结合图象或生活实例，多方面渗透数学抽象。

图象具有直观性，可以将抽象的事物具象化，因此数形结合可以减弱概念的数学抽象性。教学过程中，多提出与生活实际相关的问题，让学生感受数学的应用性和数学知识形成的自然性，觉得数学概念的形成不突兀，并且是顺理成章的。

3.重视一般性思考问题的习惯。

这种习惯需要潜移默化的培养，在平时的教学中，要注重知识之间的相互关联性，培养学生的归纳概括、类比迁移等能力，以及让学生能够看到知识之间的联系性，整体性及其本质，这对于培养数学抽象起到关键的作用。

4.多总结研究方法。

数学概念的形成有其一般性的研究方法，擅于总结，可以让学生形成模式化，培养解决问题的能力。总结方法，总结步骤的过程中，即是一般性思维形成的过程，从而培养学生的数学抽象能力。

[参考文献]

[1]袁柳芳等.基于APOS理论的高中生函数概念认知调查[J].中学数学教学参考，2015（03）.

[2]肖海燕.APOS理论指導下的等差数列概念教学[J].高中数学教与学，2014（02）.

（作者单位：福建省厦门市海沧中学，福建 厦门361000）