小学生计算错例的研究——以“小数除法”为例

文∣肖春梅

小数除法内容是学生进行数学学习的难关之一，尤其是对学习困难并且理解力差的学生来说，即使反复练习，还是会出现同样的错误，这也给我们的一线教师提出了很大的挑战。因此，探究学生的计算的错例类型及原因显得尤为重要。通过对学生的计算错例进行研究，不仅可以帮助学生找出做错的原因，然后进行改正，还可以帮助教师正确认识学生的学习状况，转变学生的错误观念，从而改进自己的教学方法和教学策略。以小学五年级的小数除法为例进行分析。

一、计算错例的类型及分析

小数除法涉及面广。这一单元的主要内容有：除数是整数的小数除法、一个数除以小数、商的近似数、循环小数、用计算器探索规律、解决问题等。学生学习小数除法较为困难，特别是被除数比除数小时，不够除；如何把除数是小数转化成除数是整数的小数除法；试商问题等都是教学难点。在小数除法这一单元中，从批改学生的作业中可以发现，学生出现的计算错例较多，结合对学生的访谈，我们把学生的计算错例归纳为知识方面、学习习惯方面、心理方面三个原因。

(一)知识方面的原因

1.对算理不理解

学生对算理的不理解主要包括没有掌握小数除法的计算法则，不会利用“商不变”的性质计算小数除法，不熟悉除法性质。

【错例分析】第(1)题是学生没有掌握小数除以整数的计算法则，小数的整数部分不够除，商应该为“0”。第(2)题学生的计算结果出现错误，究其原因，学生没有理解“添个0”，继续除，6应该是在十分位上，要在1的后面上小数点。第(3)题为商中间加“0”的小数除法，从学生错误的计算结果可以发现，学生没有掌握好小数除法的算理。多数学生没有掌握如果小数的整数部分和小数部分不够除，就在那一位加上“0”。第(4)题为除数是小数的除法。当除数的小数点向右移动一位，根据“商不变”的性质，被除数1.44的小数点也应向右移动一位，而学生并没有把被除数的小数点向右移动一位。这说明学生还没有完全理解如何利用“商不变”的性质计算小数除法。

2.试商的错误

【错例分析】上面这两道题，都是属于学生试商错误类型。第(1)题学生试商小了，导致余数比除数大。而第(2)题学生试商大了，接着还用乘得的积与被除数相减，导致结果错误。试商错误会直接影响计算结果的准确性。

3. 除法竖式中减法和乘法的运算错误

【错例分析】第(1)题初看像估商的错误，仔细分析后可以发现，竖式中94-80=14，而不是4，因此出现了计算错误。而第(2)题，看起来完全正确，但验算一下，就可以发现商错了。究其原因是学生把32×8算成了246，实际应是256。这两道题属于除法竖式中减法和乘法的运算错误。

4.基本口算不熟练

【错例分析】这两道题列式是正确的，但在计算结果时出现了错误。首先看这两道题结果的小数点没有出错，也就是学生能理解算理。其次，仔细看这两道算式，学生的答案是0.42÷6=0.08，0.72÷1.2=0.5，均计算错误。这反映出学生的口算不熟练，是简单的口算错误。

(二)学习习惯方面的原因

1.位值对位错误

【错例分析】在此题的四种解法中，第一种和第二种解法，学生在计算3.24÷0.3时给出的答案是1.08或108。我们可以发现，商的位值对位错误。第三种和第四种解法，学生在计算最后一步3.24÷1.2时，结果分别是0.27和27。很明显，也是商的位值出现对位错误。

2.审题不仔细

【错例分析】从第(1)题可以看出学生把算式里的2.08抄成了2.03，导致计算结果错误。而第(2)题学生直接把4.12看成了4.2，最终计算结果也是不正确的。从学生的计算错例可以看出，学生审题不仔细，容易抄错、看错题目的数值，从而导致结果不正确。

3.易受思维定式的干扰

【错例分析】我们可以很明显地看出第(1)题的结果是错误的。答案填写0.5只是学生单纯地计算错误吗？其实，我们认真审题后，就明白学生列式为0.25÷0.5=0.5，一方面可能是学生没看清题；另一方面则是由于思维定式，学生看到除，立刻用前一个数除以后一个数，混淆了除数和被除数的概念，造成计算错误。第(2)题学生在试商的过程中，把除数12看作10来试商，固然没有错，但用了3×10。由于学生的思维定式，忘了真正的除数是12，导致计算结果错误。第(3)题学生并没有按照四则运算的顺序计算，而是直接先算0.25×4=1，导致计算结果错误。这就是受简算定式思维的影响，他们为强势信息所干扰，从而计算错误。

(三)心理方面的原因

1.瞬时和短时记忆容易出错

【错例分析】这是一道单位换算的小数除法计算题，学生的错误答案是1.3。通过访谈发现，学生并不是不会单位换算，也不是不会小数除法，而是学生的瞬时和短时记忆出现了问题。第一步计算，知道60分钟等于1小时，第二步90-60=30，学生忘了将剩下的30分钟除以60分钟进行换算，而是默认为0.3小时，由此得到了这样的结果。

2.“教师期望心理”作祟

“亲其师，信其道。”学生对于教师越发信赖，越容易陷入“教师期望心理”的误区，“教师期望心理”在学生学习中的作用不容忽视。因此，教师在教学中要注意把握好尺度，始终引导学生用科学的眼光看待问题、解决问题，突破“教师期望心理”的障碍。

【错例分析】第(1)题，刚开始我们误以为是学生粗心导致，没看清除数是整数，一直提醒学生计算结果错误，重新算一算。在找了出现这类错例的学生访谈后，我们才知道学生误以为凡是小数除法都要变成整数。再来认真分析学生的计算错例，发现真正原因是学生没有分清当除数是整数时不需要移动被除数的小数点。这就是“教师期望心理”误导了他们。第(2)题，学生在列竖式计算过程中并没有任何错误，但结果是错误的。在这道题中，真正的循环节是3，而不是35。出错的原因是学生认为只要出现相同的数字，那说明后面的数字跟前面是一样的。教师在讲循环小数时，一直在强调一个数字或几个数字依次不断重复出现。然而学生却忽略了循环节有时并不是从第一位开始，应该多计算几位。

二、教学建议

(一)加强学生对算理的理解

算理是计算规则的理论依据,规则是算理的具体化。在计算教学中不仅要让学生知道该怎么计算，还应该让学生明白为什么要这样计算，在理解算理的基础上掌握算法。

因此，为了让学生更好地理解和掌握小数除法的算理，可以联系生活实际，帮助学生理解算理。例如，22.4÷4=5.6，可以具体将22.4 km转化成22400 m，再除以4，得到5600 m，5600 m=5.6 km，这样学生更加容易明白算理。此外，还可以充分利用旧知，让学生迁移类推，自主探索计算的方法，基本程序是：复习旧知—问题转化—形成法则。在学习“一个数除以小数”时，复习“除数是整数的除法”和“商不变”的性质，学生就会利用之前学过的知识把除数是小数转化成除数是整数的除法，以此我们得出一个数除以小数的计算方法。让学生学习算理更加深刻。

(二)加强学生的口算能力训练

口算是数学计算的基础，如果口算能力不强，直接影响学生笔算小数除法的速度和准确性。从上述学生的计算错例可以看出，学生的口算能力有待提高。口算技能的形成并非一日之功，因此口算训练必须经常化，要针对学生的年龄特点，使形式训练多样化，那样学生才会感兴趣。小数除法这部分内容属于小学五年级的数学知识，因此可以借助每日课前听算，即教师以一定速度读题，学生马上书写得数来帮助学生训练。此外，还可以以口算接力的形式，训练学生的口算速度和思维。在口算训练中，教师无论采用什么方法，都要有针对性、讲求实效。

(三)重视学生的计算错例，充分利用好学生的计算错例资源

学生在学习的过程中，犯错是在所难免的，教师要允许学生犯错，而关键在于教师要引导学生建立自己的错题库，形成资源，从错题资源中吸取教训，加以纠正。学生出现的计算错例，对于他们认识的发展同样有“阶梯”作用。学生的计算错例也为教师提供了给学生辅导的目标，更可以帮助教师总结教学经验，摸索学生的认知规律，改进教学方法，以提高教学水平。

(四)巧用多种教学策略，突破学生的思维定式

思维定式本身是一种典型的心理学概念，在上述计算错例中，学生出现的思维定式，可以借助对比练习来打破。两道习题同时出现，如0.5除以0.25的商是( )；0.25除0.5的商是( )。学生就可以清楚地区分被除数和除数的关系。计算1.8÷0.25×4和1.8÷(0.25×4)，让学生区分四则混合运算的顺序。此外，还可以借助一题多解的教学策略，打破学生固有的某些知识结构。

(五)养成良好的计算习惯

良好的计算习惯，直接影响学生的计算能力。针对学生经常抄错题、看错数，首先，要让学生养成认真审题的习惯。要求学生看清题目中的每一个数字和运算符号，确定运算顺序，选择合理的运算方法。其次，要让学生养成仔细计算、规范书写的习惯。让学生书写工整，书写格式规范。列竖式计算时，数位要对齐，数字间要有适当的间隔，位值要对齐，商的小数点要和被除数的小数点对齐。最后，要让学生养成估算和自觉验算的习惯。小数除法计算难度较大，学生计算的准确率也比较低，教师要教给学生验算和估算的方法，并将验算作为计算过程中的一个重要环节进行严格要求，提倡用估算来检验答案的正确性。

(六)引导发现，突破心理障碍

针对学生心理方面的计算错例，教师可以采用引导发现，突破学生心理障碍。对于学生瞬时记忆和短时记忆容易出现的错误，可以通过对比练习引导学生认清计算时记忆错误的真正原因，分清模糊“印象”的干扰，走出思维误区。对于“教师期望心理”作祟的问题，教师要注意引导，先让学生自主完成习题，然后同学之间互相查找问题，并商量怎样做才不容易发生错误，引导学生经历“心灵感悟”。或者让学生重新计算板演，并发动全班同学观察、分析、讨论、交流，最后让学生明白自己错误的原因，帮助学生找到计算错例根源，根治错例“顽疾”，通过这样的探究，给学生一个很好的教育和启示，以突破心理上的障碍。教师在教学中要注意把握好尺度，始终引导学生用科学的眼光看待问题、解决问题，突破“教师期望心理”的障碍。

通过对“小数除法”计算错例的研究，我们真正了解了学生出现计算错例的原因。教师要帮助学生改正错误，形成正确的认知，提高计算的正确率和速度，有效促进学生数学学习的发展，推动学生良好学习方式的形成，从而建构新型、高效的学习方式。在此，也为一线教师提供了“小数除法”的计算错例教学资源，帮助教师正确认识学生的计算学习状况，改进自己的教学方法和教学策略。