素数个数公式

◎安华杰 安福臻 （．河北省吴桥县何庄乡大魏中学，河北 沧州 06800；．河北省吴桥县人民医院，河北 沧州 06800）

一、预备定理

Pi表示素数，i 为自然数，P1是偶素数2，P2是奇素数3，P3是奇素数5，P4是奇素数7，P5是奇素数11……

定理1：在自然数中，按素数顺序，到削去Pi的各倍数时，削去的第一个数是

证明：Pi的各倍数是：2Pi，3Pi，4Pi，5Pi，6Pi，7Pi，8Pi，9Pi，10Pi，11Pi，12Pi，13Pi，14Pi，15Pi……（Pi-1）Pi，（Pi＋1）Pi……

推论：在自然数中，削去Pi的各倍数后，前未被削去的数都是奇素数（1，2 除外）．

定理2：削去Pi的各倍数，到自然数N（N≥）削去数的个数等于Pi至除以Pi除不尽时，其商取只舍不入的整数值）未被Pi-1削去数的个数．

证明：因为不按素数顺序先削去Pi的各倍数时，到N削去的最后一个数是Pi的m 倍除以Pi除不尽时，其商取只舍不入的整数值)，所以不按素数顺序先削去Pi的各倍数是：2Pi，3Pi，4Pi，5Pi……（Pi-1）Pi，，（Pi＋1）Pi……（m-1）Pi，mPi．

因为按素数顺序，到削去Pi的各倍数时，削去的第一个数是

所以按素数顺序削去Pi至Pi-1的各倍数后，以前的各数2Pi，3Pi，4Pi，5Pi……（Pi-1）Pi都已被削去了．

所以削去P1至Pi-1各倍数后，在Pi，Pi＋1，Pi＋2，Pi＋3……（m-3），（m-2），（m-1），m 这一列连续的自然数中，凡不是被削去的数，它们和Pi的各积到削去Pi的各倍数时才能被削去．

因此，削去Pi的各倍数时，到自然数N（N≥）削去数的个数等于Pi至除以Pi除不尽时，其商取只舍不入的整数值）未被Pi-1削去数的个数．

二、素数个数公式

1．素数个数准确公式：

2.缺乏高素质的管理人员和技术人员。在煤炭企业健康发展的过程中，一线员工发挥了重要作用，是不可或缺的组成部分。但是由于煤炭行业工作环境较为艰苦，而且人才引进机制不完善，导致企业难以引进高素质技术人才，基层员工在技术与综合素质方面还有待提升。在此大环境下，虽然煤炭企业已经着手加大人才引进力度，但在培训工作方面开展的并不顺利，造成煤炭企业技术人员与管理人员虽然能够胜任岗位，但是还不够优秀，对于工作中遇到的难题不能第一时间进行解决，在某种程度上限制了煤炭企业的正常运行，不利于煤炭企业的全面、健康发展。

在1，2，3，4，5……N 一列自然数中削去2 的各倍数时，削去了2 除外的各偶数，所以削去2 的各倍数后到N 未被削去数（1 除外）的个数为奇数时，其商取只入不舍的整数值）．削去3 的各倍数时，到N 削去数的个数＝3 至未被2 削去数的个数．削去5 的各倍数时，到N 削去数的个数＝5 至未被3 削去数的个数……一般地，削去Pi的各倍数时，到N 削去数的个数＝Pi至未被Pi-1削去数的个数．Pi至未被Pi-1削去数的个数表示为商，简记为时，削去Pi的各倍数后到N 的素数个数用Pi（N）表示，则素数个数准确公式为：

练习：利用素数个数准确公式求下列各偶数以内素数的个数．

讨论：对于这个公式有必要进行讨论，一方面讨论它的纯粹性，另一方面讨论它的完备性．

纯粹性：在1 至N 一列自然数中削去各素数的各倍数时，“1”总不被削去．因为“1”不是素数，所以要在公式里减去1．完备性：在1 至N 一列自然数中削去各素数的各倍数时，2 作为素数2 的一倍数被削去，3 作为素数3 的一倍数被削去，5 作为素数5 的一倍数被削去，…，Pi作为素数Pi的一倍数被削去，所以要在公式里加上i．

练习：利用素数个数近似公式求下列各偶数以内素数的个数．

（1）10 （2）100 （3）210 （4）500 （5）1000

所以在1 至10 一列自然数中素数的个数

答：10 以内有素数4 个（和准确值相等）．

所以在1 到100 一列自然数中素数的个数

答：100 以内有素数25 个（和准确值相等）．

所以在1 到210 一列自然数中素数的个数

答：210 以内有素数45 个（和准确值相等）．

所以在1 到500 一列自然数中素数的个数

答：500 以内有素数92 个（比准确值95 少3 个）．

所以在1 到1000 一列自然数中素数的个数

答：1000 以内有素数162 个（比准确值168 少6 个）．

在计算以上各近似值的过程中，计算器上有几位小数就取几位小数，最后结果取只舍不入的整数值．