基于类比思想的教学策略与实践

◎任 玲 （江苏省邳州市八义集初级中学，江苏 徐州 221361）

人类总是喜欢比较一些具有相似性质的事物，或者习惯于把取得成功的事物之经验应用于另一些相似的事物，这就是类比思想．类比思想是初中数学学习阶段重要的思想方法之一，也是由特殊到特殊的一种推理思想．具体来说，“所谓类比是这样的一种推理，它把不同的两个（两类）对象进行比较，根据两个（两类）对象在一系列属性上的相似，而且已知其中一个对象还具有其他的属性，由此推出另一个对象也具有相似的其他属性的结论”．

常用的类比思想有降维类比、简化类比、结构类比、有限类比四种．在初中数学教学中，教师运用这些类比思想组织教学，能提升学生分析与解决问题的能力，利于新知的学习，有助于学生巩固旧知识，达到温故知新的效果，更有助于开发学生的智力．所以说类比思想在初中数学中特别重要，它给初中数学的教和学的过程带来了不容小觑的方便和好处．下面笔者将根据教学实践谈谈在初中数学教学中应用类比思想的几个教学策略．

一、用降维类比思想助力学生解决问题

我们都知道“维数”是线性空间理论里面的概念，即线、面、体分别对应着一维、二维和三维空间．所谓降维类比，就是在研究高维问题时，先思考解决与它类似的低维问题，再解决高维问题．降维类比思想能帮助学生简化探索问题所运用的知识，降低思考的难度，从而顺理成章地获取．

课例一：探究“勾股定理的应用”

有这样一个问题：如图1，一个圆柱形玻璃杯的高度为16 cm，底面周长为30 cm．一只蚂蚁在这个玻璃杯外壁上距离玻璃杯上沿4 cm 的点A 处，它发现与它相对的玻璃杯底部有一滴蜂蜜．这只蚂蚁想尽快吃到蜂蜜，求蚂蚁从外壁A处到达内壁B 处的最短距离（玻璃厚度忽略不计）．

图1

我们知道，蚂蚁需要从A 处在外壁沿某条路线爬到玻璃杯上沿的某一点，再沿内壁的某条路线爬到B 处，也就是说要求的是这两段路程之和的最小值．

教师引导：平面图形中，有一种求解直线上一动点到直线同侧的两点距离之和最小问题的方法，请大家回顾．

我们先来看这样一个问题：如图2，一段高速公路a 的同一侧有A，B 两个村庄，要在这段高速公路a 上设一个出口P，使A，B 两个村庄到P 的距离之和最小，如何设？

图2

学生回顾并展示解决方法：作点A 关于a 的对称点A′，连接A′B，则A′B 与a 的交点即为所求的点P．

这时，运用降维类比思想将圆柱的一半侧面展开，作点A 关于EF 的对称点A′，可知A′B 的长度即为所求（如图3）．

图3

这是一个在立体图形中求最短距离的问题，我们运用降维类比思想，将其类比转化为在平面图形中求最短距离的问题加以解决．

二、用简化类比思想帮助学生理清知识点的区别与联系

简化类比就是将原问题类比到比原问题更加简单的类似问题中，即通过类比简单问题的处理办法和解题思路，从中获得启发，从而寻求待解决问题的解题思路和处理办法的过程．

课例二：探究“三元一次方程组的解法”

教师提问：怎样解二元一次方程组？

学生回顾二元一次方程组的解法．

学生发现①式中的5y 和②式中的-5y 互为相反数，故①＋②便可消去未知数y 得到一元一次方程，从而先求出x，再将x 的值代入①求出y，得到方程组的解．

师：解二元一次方程组的关键是消元，将二元一次方程组转化为一元一次方程．

那么，怎样解下面这个方程组呢？

生：既然二元一次方程组可以通过消元转化为一元一次方程，那么三元一次方程组也可以通过消元转化为二元一次方程组．

运用简化类比思想，将三元一次方程组类比更为简单的二元一次方程组，从而轻松探究出三元一次方程组的解法．这样，学生就弄清了三元一次方程组和二元一次方程组的关系，同时认识到二者的解法又是有区别的，教学目标从而顺利实现．

三、用结构类比思想促进学生建构知识体系

不是所有的问题都有现成的类比物可供观察和借鉴，所以上述的类比思想不是万能的．那么可以应用定义和性质对问题加以类比分析，再借助结构相似性搜寻类比问题，从而将原问题转化成类比问题加以解决．所以，结构类比思想可以帮助学生自主地形成知识体系，让学生对知识进行整体把握．

课例三：探究“矩形、菱形、正方形的判定”

教师提问：请大家回忆并交流，平行四边形的判定条件有哪些？ 这些条件是如何得到的？

学生回顾：根据平行四边形的边、角、对角线的性质得出逆命题，经历比较、猜想、验证的探究过程，从而得出平行四边形的判定条件．

教师追问：矩形有哪些性质？

学生：既然平行四边形的判定条件是根据平行四边形的性质探究得到的，而矩形又是特殊的平行四边形，那么也应该根据矩形的性质得出矩形的判定条件．

教师引导，学生为主体，运用结构类比思想探索矩形的判定条件．首先，学生由矩形的性质进行逆向思考：边、角、对角线满足什么条件的四边形才能是矩形？ 然后，学生猜想、尝试、分析、证明、总结，从而明确矩形的判定条件．

探究“菱形的判定”时，教师先引导学生结构类比矩形的判定条件的探索过程和方法，结合菱形的性质得出菱形的判定条件，最后结构类比矩形和菱形的判定条件的探索过程和方法，进行知识的升华，得出正方形的判定条件．

这样，运用结构类比思想一步步形成了环环相扣的知识链，从而把从平行四边形到矩形、菱形最后到正方形这一系列知识融合为整体，便于学生准确高效地把握各种平行四边形的性质和判定．

四、用有限类比思想增强学生的应用意识和开放性思维

当遇到无限的问题时，如曲线，可以先研究类似的有限问题，如直线，再把解决有限问题所用的方法应用到解决无限问题中，这就是有限类比思想．有限类比思想有助于培养学生的开放性思维，增强学生的应用意识．

课例四：探究“反比例函数的图像和性质”

教师提出：请回忆一次函数的表达式中的自变量和函数值的取值范围是什么．

学生：自变量x 和函数值y 都可以取任意实数．

教师：一次函数的图像是什么样的？ 画图像的一般步骤是什么？

在教师的引导下，学生运用有限类比思想提出新的问题：既然一次函数的图像是直线，也就是说直线是一次函数的图像，那么曲线是哪种函数的图像呢？

教师：反比例函数的表达式中的自变量和函数值的取值范围是什么？ 反比例函数的图像是什么形状的？ 如何画呢？

学生运用有限类比思想进一步发现问题：一次函数的表达式中的自变量和函数值都可以为0，所以一次函数的图像可以与坐标轴相交．但是反比例函数的表达式中的自变量x≠0，函数值y≠0，所以反比例函数的图像是曲线，而且不能与坐标轴相交．

教师：画反比例函数的图像需要描几个点呢？

学生运用有限类比思想更进一步发现问题：画一次函数的图像时，根据“两点确定一条直线”只描两个点便可以准确画出，但是要想比较准确地画出反比例函数的图像就需要多描点．然后学生类比画一次函数的图像的步骤，即列表、描点、连线，绘制出反比例函数的图像．

运用有限类比思想，学生根据一次函数的图像的有关知识进行拓展延伸，得到反比例函数的图像的新知．

结 语

综上所述，类比思想对于初中数学教学有着十分重要的意义．类比思想能让复杂的问题简单化，让抽象的问题具体化，让分散的知识体系化，可以使学生不满足已有知识现状，勇于提出新问题，激发他们的创新意识和应用意识，从而使数学的教与学更加高效，更有价值．