一道课本习题的解答修正与教学启示

普通高中教科书·数学（人教A版）》必修第一册（2019年6月第1版）第156页拓广探索第13题：

本题为开放探究题，考查学生对函数零点及零点存在定理的理解与应用.试题以含参数的类二次函数为背景，由函数的零点个数求参数取值范围，需对最高次系数、判别式进行讨论.在解决问题的过程中，渗透化归与转化思想、函数与方程思想、分类讨论和数形结合思想，是一道培养学生直观想象、逻辑推理、数学抽象等核心素养的好题.

下面笔者给出几点教学启示，供读者参考.

1 教学内容与要求的变化

本题考查内容为必修第一册第四章《4.5函数的应用（二）》第一课时《函数的零点与方程的解》.与上一版教科书相比，新版教科书有几点重要变化：

1.1 零点定义提前给出

必修第一册第二章《2.3二次函数与一元二次方程、不等式》就给出了二次函数的零点的定义，用二次函数的观点认识一元二次方程，为一般函数零点的定义作了铺垫.这种由特殊到一般给出定义的方法，既符合《普通高中数学课程标准（2017年版）》的意图，又遵循了学生的认知规律，帮助学生从函数的观点认识方程，领悟函数的本质.

1.2 课题调整，结论升级

新版教科书的课题由原来“方程的根与函数的零点”调整为“函数的零点与方程的解”，将“函数的零点”提前，同时将上一版的“结论”升级为新版的“定理”，并给出了“函数零点存在定理”的名称.这种处理加强了该内容作为数学内部应用的定位，突出了函数的核心地位，并将重心放在应用函数性质研究方程的解上，体现了“用联系的观点看待问题”“用新观点看待旧事物”“用动态变化的观点看待静态确定的事物”等思想[3].

1.3 例题要求提高

新版教科书第143页例1：求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数.

本题虽与上一版相同，但却提高了要求，不仅将该题作为引例使用，而且在教师教学用书中通过尝试函数的取值、放缩判断函数值符号f（2）=ln2-20，寻找函数零点所在的区间;也可转化为两个基本函数g（x）=lnx与h（x）=-2x+6的交点个数.这些解法更符合教学实际，既有助于提高学生的估算意识，也拓展了学生的数学思维.

2 “函数零点存在定理”的理解与把握

“函数零点存在定理”在数学分析上是“闭区间上连续函数的介值定理”的特例，由捷克数学家波尔察诺在1817年首先证明.但由于当时缺乏实数理论，证明不严格，后由德国数学家魏尔斯特拉斯将这个证明严密化.

可以看出，由含参数的函数在某个区间上的零点个数求参数取值范围，实际是用函数在某个区间上存在零点的必要性，由于必要性不一定成立，解题时要格外小心，不要遗漏情况.当然如果给出的函数在定义域上是单调函数，那么函数最多有一个零点，这样就一定成立了.

参考文献

[1] 中学数学课程教材研究开发中心等.普通高中教科书·数学（人教A版）必修第一册[M].北京：人民教育出版社，2019.6.

[2] 中學数学课程教材研究开发中心等.普通高中教科书教师教学用书·数学（人教A版）必修第一册 [M].北京：人民教育出版社，2019.7.

[3] 章建跃.函数零点存在定理的育人价值[J].中小学数学（高中版），2018（5）：封底.

作者简介 王学忠（1978—），男，高级教师，临沂市高中数学中心组成员、兼职教研员，致力于高中数学教学与高考研究，发表论文10余篇.