Mathcad在钢筋混凝土梁斜截面受剪承载力计算中的应用

郑元锋

(福建水利电力职业技术学院 建筑工程系，福建 永安 366000)

1 概述

钢筋混凝土梁是建筑工程中的常见构件，梁截面的主要形式有矩形和T形，梁的内力有弯矩与剪力。当梁的跨度不大，剪力较小时，梁内通常只配箍筋抗剪，不配弯起钢筋。在平时结构设计中，如何快速计算梁内箍筋用量、验算梁的配箍率？应用本文Mathcad[1]软件编程的方法，即可快速准确地计算钢筋混凝土梁的箍筋用量(如：箍筋间距)，快速验算配箍率是否满足。

应用Mathcad软件编程方法计算箍筋间距或验算配箍率，其编程过程直观简捷、数据修改方便，与手算过程类似。限于篇幅，本文仅探讨矩形截面钢筋混凝土梁(仅配箍筋)斜截面受剪承载力的计算，采用Mathcad编程的方法，快速计算梁的箍筋间距、验算配箍率。

本文所有计算或编程所依据的规范是《混凝土结构设计规范》(GB50010—2010)(2015版)[2]。

2 梁斜截面受剪承载力计算公式与步骤

计算钢筋混凝土梁的箍筋用量，需进行梁斜截面受剪承载力计算。斜截面受剪承载力计算通常在正截面承载力计算后进行。下面介绍矩形截面钢筋混凝土梁(仅配箍筋)斜截面受剪承载力计算公式与计算步骤：

(1)截面尺寸验算

验算公式：

当hw/b≤4时，V≤0.25βcfcbh0

当hw/b≥6时，V≤0.2βcfcbh0

当4

如不满足，应加大截面尺寸或提高混凝土强度等级。

梁截面尺寸验算目的是为了避免发生斜压破坏。

(2)验算是否需要按计算配置箍筋

①对于一般梁：V≤0.7ftbh0

②对于集中荷载为主独立梁(包括作用有多种荷载，其中集中荷载对支座截面或节点边缘所产生的剪力值占总剪力值的75%以上的情况)：V≤1.75ftbh0/(1+λ)

如果满足上述公式要求，则按构造配置箍筋即可；如不满足以上公式要求，则需按计算配置箍筋。

(3)计算箍筋用量(仅配箍筋情况)

如按以上步骤(2)判断需要计算箍筋用量，则按以下公式计算所需箍筋用量：

①对于一般梁：

②对集中荷载为主独立梁：

(4)确定箍筋

先定箍筋肢数n与箍筋直径dsv(dsv≥dsv,min)，再根据箍筋计算间距s，确定箍筋实配间距s1(s1≤s，且s1≤smax)，最后验算配箍率。

表1 梁中箍筋最小直径dsv,min/mm

表2 梁中箍筋最大间距smax (mm)

配箍率验算公式如下:

如按以上步骤(2)判断，只需按构造配置箍筋，设计时可取箍筋直径dsv=dsv,min，箍筋间距s=smax，且不必验算配箍率。

注：上述公式中各符号含义与下面Mathcad编程设计中各符号含义一样。

3 Mathcad编程设计

钢筋混凝土梁(仅配箍筋)斜截面受剪承载力计算的Mathcad编程设计[3]，要考虑以下几点：(1)截面尺寸验算；(2)验算是否需要按计算配置箍筋；(3)计算箍筋用量(在需要按计算配置箍筋时)；(4)确定箍筋肢数与直径，计算箍筋间距，验算配箍率。

梁箍筋的具体配置，既需要受剪承载力计算，也需要人工选择(如箍筋肢数、直径、实配间距等)。本文梁箍筋计算的Mathcad编程设计由以两个编程程序组成：(1)截面尺寸验算及箍筋间距计算；(2)配箍率验算。

在以下Mathcad编程设计中，各符号含义与单位如下：

V——剪力设计值(N)；b——截面宽度(mm)；h——截面高度(mm)；as——受拉钢筋合力作用点到截面受拉侧边缘距离(mm)；h0——截面有效高度(mm)，h0=h-as；hw——截面腹板高度(mm)，对矩形截面，hw=h0；n——箍筋肢数；dsv——箍筋直径(mm)；Asv1——单肢箍筋的截面面积(mm2)；Asv——同一截面内箍筋各肢的全部截面面积(mm2)，Asv=nAsv1；fc——混凝土轴心抗压强度设计值(MPa)；ft——混凝土抗拉强度设计值(MPa)；fyv——箍筋抗拉强度设计值(MPa)；βc——混凝土强度影响系数(当混凝土强度等级不超过C50时，βc取为1.0，当混凝土强度等级为C80时，βc取为0.8，其间按线性内插法确定。)；λ——计算截面的剪跨比(当λ<1.5时，取λ=1.5；当λ>3时，取λ=3)；s——箍筋计算间距(mm)；s1——箍筋实配间距(mm)。

3.1 Mathcad编程设计一(截面验算及箍筋间距计算)

截面验算及箍筋间距计算的Mathcad编程设计如下：

Asv(V,b,h,n,dsv,as,fc,βc,ft,fyv,λ):=

h0←h-ashw←h-asλ←1.5 if λ<1.5λ←λ if 1.5≤λ≤3λ←3 if λ>3Vc←1.751+λftbh0ifhwb≤4if V≤0.25βcfcbh0 s←”按构造要求配箍筋” if Vc≥Vif Vc

3.2 Mathcad编程设计二(配箍率验算)

先根据以上箍筋计算间距s，确定箍筋实配间距s1(s1≤s，且s1≤smax)，再验算配箍率。

配箍率验算的Mathcad编程设计如下：

配箍率验算(n,b,s1,dsv,ft,fyv):=

ρsv←3.14nd2sv14bs1ρsvmin←0.24ftfyv”满足” if ρsv≥ρsvmin”不满足” otrerwise

4 使用编程程序时注意事项

使用以上两个Mathcad编程程序，可以快速计算矩形截面梁箍筋间距，验算配箍率，但使用时应注意以下几点：

(1)剪跨比λ取值

对于一般梁，取λ=0，程序计算时会自动按λ<1.5时取值计算(即取λ=1.5)。当λ=1.5时，1.75/(λ+1)=1.75/(1.5+1)=0.7。

对集中荷载为主的独立梁，λ按实际取值，程序计算时会自动判断，当λ<1.5时，取λ=1.5；当λ>3时，取λ=3。

(2)箍筋肢数n取值

梁箍筋肢数通常有双肢与四肢，箍筋肢数主要与截面尺寸、纵向钢筋配置数量及抗震等级有关。肢数n取值由使用者确定，但应满足相关规范要求。

(3)箍筋直径dsv取值

梁箍筋常用直径有6mm、8mm、10mm。当梁高大于800mm时，箍筋直径不宜小于8mm；当梁高不大于800mm时，箍筋直径不宜小于6mm。梁内配有计算需要的纵向受压钢筋时，箍筋直径尚不应小于d/4，d为受压钢筋最大直径。

(4)箍筋实配间距s1取值

箍筋实配间距s1取值不应大于箍筋计算间距s，且不应大于箍筋最大间距smax。箍筋最大间距主要与梁高及剪力大小有关，还与纵向受力钢筋的连接形式、纵向受压钢筋最小直径等因素有关，总之，实配间距s1取值，既要满足计算要求，也要满足相关规范要求。

(5)使用方法

使用Mathcad编程程序的计算方法，只需在Mathcad编程程序的下方，按照Asv(V,b,h,n,dsv,as,fc,βc,ft,fyv,λ)括号内各符号顺序输入对应的数值(或数值及相应单位)，再输入键盘上“=”，即可显示计算结果(箍筋间距)。按照配箍率验算(n,b,s1,dsv,ft,fyv)括号内各符号顺序输入对应的数值(或数值及相应单位)，再输入“=”，即可显示计算结果(配箍率是否满足)。

使用时，注意输入数据的数值与顺序不能错。当输入数值不带单位时，须采用该数据默认单位的数值。

5 实例计算

下面通过三个不同类型的实例来验证以上Mathcad编程设计的计算结果。

实例来源：《混凝土结构(上册)——混凝土结构设计原理》(第七版)[4](东南大学，天津大学，同济大学主编)，以下简称《结构设计原理》。

【实例一】(《结构设计原理》[4]【例4-1】)(类型：均布荷载矩形截面梁，计算时取λ=0，求Asv=?)

已知：有一钢筋混凝土矩形截面简支梁，截面尺寸b×h=250mm×600mm，两端支承在240mm厚的砖墙上，梁净跨度为5760mm。该梁承受均布荷载设计值70kN/m(包括梁自重)，梁端最大剪力设计值为201.6kN。混凝土强度等级为 C30(fc=14.3N/mm2，ft=1.43N/mm2)，箍筋为HPB300级钢筋(fyv=270N/mm2)，纵筋为HRB400级钢筋。一类环境。(取as=40mm，仅配箍筋)

求：箍筋的数量。

解：采用以上Mathcad编程设计的计算结果如下：

Asv(V,b,h,n,dsv,as,fc,βc,ft,fyv,λ) 代入相应数据(或数据与单位)后，计算结果如下：

Asv(201600,250,600,2,8,40,14.3,1,1.43,270,0)= (“箍筋间距” 247)

Asv(201.6kN,250mm,600mm,2,8mm,40mm,14.3MPa,1,1.43MPa,270MPa,0)= (“箍筋间距” 247) mm

箍筋计算间距247mm，本例箍筋实配间距s1=200mm。

选用双肢箍筋φ8@200(根据表2，本例箍筋最大间距smax=250mm)。

配箍率验算(n,b,s1,dsv,ft,fyv)代入相应数据(或数据与单位)后，计算结果如下：

配箍率验算(2，250，200，8，1.43，270)=“满足”

配箍率验算(2，250mm，200mm，8mm，1.43MPa，270MPa)=“满足”

本例Mathcad编程计算结果与实例手算结果一致。

【实例二】(《结构设计原理》[4]【例4-2】)(类型：集中荷载为主矩形截面梁，λ取计算值，求Asv=?)

已知：有一钢筋混凝土矩形截面独立简支梁，跨度4m，截面尺寸b×h=200mm×600mm，荷载及计算简图如下。采用C25混凝土(fc=11.9N/mm2，ft=1.27N/mm2)，箍筋采用HPB300级钢筋(fyv=270N/mm2)，一类环境。(取as=40mm，仅配箍筋)

计算简图及剪力图如下：

A支座截面：V集/V总=160/180=88%>75%

B支座截面：V集/V总=140/160=87.5%>75%

C截面：V集/V总=40/50=80%>75%

E截面：V集/V总=60/70=85.7%>75%

求：配置箍筋。

解：采用以上Mathcad编程设计的计算结果如下：

(1)AC段：VA=180kN，λ=a/h0=1000/560=1.786(a取集中荷载作用点至支座截面或节尖边缘的距离)

Asv(180kN,200mm,600mm,2,8mm,40mm,11.9MPa,1,1.27MPa,270MPa,1.786)= (“箍筋间距” 168) mm

本例箍筋实配间距s1=100mm。

选用双肢箍筋φ8@100(根据表2，本例AC段箍筋最大间距为250mm)。

配箍率验算(2，200mm，100mm，8mm，1.27MPa，270MPa)=“满足”

(2)CD段：VC=50kN，λ=a/h0=2000/560=3.57

Asv(50kN,200mm,600mm,2,8mm,40mm,11.9MPa,1,1.27MPa,270MPa,3.57)=(“箍筋间距”“按构造要求配箍筋”) mm

按构造配置箍筋，选用双肢箍筋φ8@350(根据表2，本例CD段箍筋最大间距为350mm)，则s1=350mm。

配箍率验算(2，200mm，350mm，8mm，1.27MPa，270MPa)=“满足”

(3)DE段：VE=70kN，λ=a/h0=2000/560=3.57

Asv(70kN,200mm,600mm,2,8mm,40mm,11.9MPa,1,1.27MPa,270MPa,3.57)=(“箍筋间距” 1955) mm

本例箍筋实配间距s1=250mm。

选用双肢箍筋φ8@250(根据表2，本例DE段箍筋最大间距为250mm)。

配箍率验算(2，200mm，250mm，8mm，1.27MPa，270MPa)=“满足”

(4)EB段：VE=160kN，λ=a/h0=1000/560=1.786

Asv(160kN,200mm,600mm,2,8mm,40mm,11.9MPa,1,1.27MPa,270MPa,1.786)=(“箍筋间距” 215) mm

本例箍筋实配间距s1=120mm。

选用双肢箍筋φ8@120(根据表2，本例EB段箍筋最大间距为250mm)。

配箍率验算(2，200mm，120mm，8mm，1.27MPa，270MPa)=“满足”

本例Mathcad编程计算结果与实例手算结果一致。

【实例三】(修改【实例一】中的荷载设计值70kN/m为180kN/m，则得梁端最大剪力设计值为518.4kN，其它资料不变。)(类型：均布荷载矩形截面梁，计算时取λ=0，求Asv=?)

已知：有一钢筋混凝土矩形截面简支梁，截面尺寸b×h=250mm×600mm，两端支承在240mm厚的砖墙上，梁净跨度为5760mm。该梁承受均布荷载设计值180kN/m(包括梁自重)，梁端最大剪力设计值为518.4kN。混凝土强度等级为 C30(fc=14.3N/mm2，ft=1.43N/mm2)，箍筋为HPB300级钢筋(fyv=270N/mm2)，纵筋为HRB400级钢筋。一类环境。(取as=40mm，仅配箍筋)

求：箍筋的数量。

解：采用以上Mathcad编程设计的计算结果如下：

Asv(518.4kN,250mm,600mm,2,8mm,40mm,14.3MPa,1,1.43MPa,270MPa,0)=(“箍筋间距” “截面不满足要求”) mm

根据以上计算信息“截面不满足要求”，应加大截面尺寸或提高混凝土等级后，重新设计。

本例Mathcad编程计算结果与实例手算结果一致。

以上三个不同类型实例的Mathcad编程计算结果与手工计算结果完全一样。

6 结束语

根据钢筋混凝土梁斜截面受剪承载力计算公式，应用Mathcad编程方法来计算梁箍筋(仅配箍筋)及配箍率验算。编程设计时，应特别注意各类判别式及各种不同条件下的相应公式。编程结束后，需用各类不同类型的实例验证Mathcad编程设计的正确性。

采用Mathcad编程程序计算梁箍筋间距或验算配箍率，该用法简单且计算准确，可以极大地提高工作效率。但计算前，箍筋肢数与箍筋直径的确定，计算后，箍筋实配间距的选定等等，这些数值需由使用者自己确定，并满足相关规范要求。