关于三角形的一个不等式链

时 军 苏化明

(合肥工业大学数学学院 230009)

本文给出一个关于三角形的不等式链，即如下的:

定理设△ABC的半周长为p，面积为Δ，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有

(1)

其中所有的等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.

首先介绍如下的引理.

引理的证明由f(x)=ln sinx-lnx，知

f(x)为上凸函数.

由g(x)=ln tanx-lnx知

g″(x)>0.

(2)

sin22x-4x2cos 2x>0，

注： ① 不等式(2)等价于

(3)

② 不等式(2)可加强为[1]

(4)

下面进行定理的证明:

由此知

再由△ABC中的等式

可得

(5)

故由Jensen不等式知

由此知

或

利用△ABC中的等式

可得

(6)

由算术—几何平均不等式知

sinA+sinB+sinC

利用△ABC中的等式

再由△ABC中的等式

或

(7)

由此知

利用△ABC中的等式

可得

(8)

由算术—几何平均不等式知

由此知

(9)

由式(5)，(6)，(7)，(8)，(9)知不等式(1)成立.由于(5)—(9)中等号均为当且仅当△ABC为正三角形时成立，故(1)中所有的等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.

最后指出，△ABC中有著名的Euler不等式[1]：R≥2r，而不等式(1)对此不等式进行了若干隔离或加细.