平面几何中的向量方法①

王贵军 魏 烁

(北京市第八十中学 100102)

向量的运算与几何图形的性质有着紧密的联系，向量的运算可以用图形简明地表示，而图形的一些性质又可以反映到向量的运算上来，因此我们可以建立向量的运算与几何图形之间的对应关系，通过向量的运算来研究几何问题．向量的运算主要包括向量的加(减)法运算、向量的数乘运算和向量的数量积运算，其各种运算均包含几何运算、代数运算、坐标运算三种形式的运算．

向量作为工具研究几何问题，开创了研究几何问题的新方法，在一些期刊上的相关文章和有些教材上相关内容多数使用向量的代数运算，在解决某些几何问题时过于复杂，采取的方式和方法过于牵强，与传统的综合法解决几何问题的方法相差甚远，看不到向量在解决几何问题时的优势，不利于激发学生运用向量方法解决几何问题的积极性，在某种程度上起了误导的作用，其问题根源在于用向量解决问题时过分强调向量的代数运算，而忽视了向量的几何运算．

运用向量解决几何问题的基本程序是首先建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题，然后通过向量的运算，研究几何元素间的关系，如距离、夹角等问题，最后将运算结果“翻译”成几何关系．在运用向量方法解决几何问题时，要突出向量的几何运算，即“图形”的运算，或几何运算与代数运算结合使用来解释图形的几何性质，这样才能更好地发挥向量在解决几何问题的魅力．

1 垂直问题

图1

例1如图1，在△ABC中∠C=90°，CA=CB，D是CB的中点，E为AB边上一点，AE=2EB．求证：AD⊥CE．

证明因为∠C=90°，CA=CB，

故AD⊥CE．

图2

例2如图2，已知正方形ABCD，P为对角线AC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，连接PD，EF．求证PD⊥EF．

证明因为ABCD为正方形，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F,

所以AE=BF，BE=CF，

=AE·EB-CF·BF=0．

故PD⊥EF．

例3如图3，分别以△ABC的两边AC和BC向外作正方形ACDE和正方形BCFG．求证：AF⊥BD．

图3

证明因为ACDE和BCFG均为正方形，

=0．

故AF⊥BD．

说明线段的垂直问题转化向量的数量积为零，在证明过程中通常利用向量加法的三角形法则(首尾衔接法)，将所求向量进行转化，用向量的运算的结果解释图形的几何特征．

2 平行问题

图4

证明因为D,E分别为边AC,BC的中点，

又因为DE,AB不共线，

图5

证明因为F,G,M,N分别为AB,BC,CD,DE的中点，P,Q分别为FM,GN的中点，

因为AE与PQ不共线，

说明利用向量证明两个线段平行时，将线段平行问题转化为对应的向量平行问题，通过向量的运算，寻求这两个向量的实数λ倍的关系．在证明过程中要充分利用向量加法或减法的几何运算的首尾衔接法(回路法)．

3 长度问题

图6

例6如图6，已知△ABC中，AB⊥BC，BD⊥AC于点D，求证AB2=AD·AC，CB2=CD·CA，BD2=DA·DC．

证明因为AB⊥BC，BD⊥AC，

=0+AD·CD+AD·DC-AD·DC

=AD·DC．

图7

例7如图7，D为Rt△ABC斜边AB的中点，E,F分别在边AC,BC上，且DE⊥DF，求证：EF2=AE2+BF2．

证明取EF中点G，连结DG.

因为DE⊥DF，AC⊥BC，

=AE2+BF2．

4 分点问题

图8

例8如图8，平行四边形ABCD，点E,F分别为AD,DC的中点，BE,BF分别与AC交于R,T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？

解直观猜想知AR=RT=TC．

因为ABCD为平行四边形，E为AD的中点，

根据平面向量的基本定理得μ=2，

故点R为AC的三等分点．

同理点T也为AC的三等分点，

故AR=RT=TC．

图9

例9如图9，在△ABC中，M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值．

解因为M是BC的中点，AN=2NC，

于是AP∶PM=4∶1．

5 夹角问题

图10

例10如图10，设四边形ABCD中，AD=BC，M,N分别为AB与CD的中点，连接MN，设AD与MN夹角为∠1,BC与MN夹角为∠2,求证∠1=∠2.

因为AD=BC，

所以cos∠1=cos∠2.

因为∠1,∠2∈(0,π),

所以∠1=∠2．

说明利用向量证明与角有关的问题时，要有意识地建立向量的数量积的关系式，如在向量等式两边同时点乘一个向量，再将向量的数量积转化成向量的模与夹角余弦的关系式，这样可进一步研究角的有关问题．

6 教学建议

在用向量研究平面几何问题的教学中，首先建立平面几何的元素与平面向量元素间的联系，将平面几何问题转化为向量问题，例如，线段的长度转化为向量的模；线段平行转化为向量平行；三点共线转化为向量共线；线段垂直转化为向量垂直；线段夹角转化为向量夹角等．然后通过向量的运算解释向量的几何关系，再将向量的几何关系转化成对应的平面几何的元素关系．

教学中应当通过实例，引导学生认真体会通过建立向量及其运算与几何图形之间的关系，利用向量的代数运算和几何运算研究几何问题的基本思想．在进行向量的运算时可以使用向量的几何运算也可以使用向量的代数运算还可以使用向量的坐标运算来解决几何问题．要着重引导学生使用向量的“形”的运算，即几何运算来研究几何问题，从本文例子可以看出向量“形”的运算更直观，能充分反映向量的本质，可使几何问题的解答过程十分简洁，这样才能激发学生使用向量的积极性，体现数学的简洁美，因此教学中要注意引导学生寻求更美的解题方法，要充分运用向量的首尾衔接法(回路法)及向量的运算的几何意义来研究平面几何问题，这样才能更好地让学生体验到向量在解决平面几何问题的魅力．