已知一边及其所对角在解三角形中的应用

王洪强

摘  要：解三角形即是求解三角形的三边与三角。在历年高考试题中，解三角形既是高考的重点也是热点问题。其考查形式常与平面向量、三角函数以及正余弦定理等知识点交汇。如果已知三角形两边与一角或者两角与一边，那么解这样的三角形是很容易的，这是对一名合格高中生的要求。但是已知三角形的一边与一角，这样的三角形有无数个，属于不定问题。这样的问题对学生的能力要求较高，具有一定的选拔功能。因此，这种问题常作为高考题目。然而，在教学中很少有老师及学生能把这样的问题上升为理论，归纳出解决方法。导致了他们总是按照传统模式去解决这类问题，耗费了大量的解题时间。因此，笔者以此为出发点，在研究中发现了已知三角形的一边与及其所对的角也有一定的规律性，可应用与求三角形面积的最值、弦互换等问题，这样可大大提高解题效率。

关键字：解三角形   一边及其所对角  最值   边弦互换

在解三角形时，已知三角形的某一条边及其所对角，如 的内角 的对边分别为 ，已知 ， （ 为定值）.其应用如下：

1.边和弦互换求最值

由正弦定理， （ 为 外接圆的半径）

可知， 唯一确定，不妨设 .

由 ，得

所以，边和弦可以互换。

例1： 的内角 的对边分别为 ， ， ，求 的最大值。

解析：由 ，得  =2

即   = ， .

当 时， 的最大值为 .

2.当且仅当 时， 的最大值为 ， 面积的最大值为 .

推论：若 为锐角，当且仅当 时， 的最大值为 ;

若 为钝角，当且仅当 时， 的最小值为 .

推导：

所以，当且仅当 时， 的最大值为 ;

从而， 面积的最大值为 .

例2：（2013全国2卷） 的内角 的对边分别为 ，已知 .

（1）求 ;（2）若 ，求 面积的最大值.

解：（1）易得 ;

（2）由结论得，当且仅当 时， 面积的最大值是

强调：本题还可以求 的最大值， 的最大值。

3.已知 ， （ 為定值），若再加一个边、角关系，即可解三角形中剩下的元素.

例3： 的内角 的对边分别为 ， ， .若 的面积为 ，求 的值。

解析：由

虽然已知三角形的一边与及其所对的角虽然属于不定问题，但我们只要善于抓住三角形所对应的外接圆半径为定值这一规律，求三角形面积的最值、边弦互换等问题便迎刃而解。

参考文献：

[1]黄书虹. 解三角形中的一题多解[J]. 福建中学数学，2019（4）.