函数与方程思想在解题中的应用及其教学策略

关香贻

摘要：数学思想方法一直都是高考考查的重点内容，而函数与方程思想方法正是其中其一，是中学数学的重要内容，占据了重要的地位。必须要在教学的过程中深刻理解函数的本质，从函数与方程思想的角度指导学生解题，才能帮助学生提高解决问题的能力。

关键词：数学思想方法，函数与方程思想方法，数学，函数思想

一、函数与方程思想方法分析

函数是刻画现实世界中一类重要变化规律（运动变化）的模型，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律。函数思想的实质是：用联系及变化的观点提出（数学对象）——抽象（数量特征）——建立（函数关系），即从已知事物中提炼数学语言，构造函数关系，再用函数关系解决问题。函数思想方法的应用非常广泛——建立函数关系或构造函数，运用函数图象及其性质去分析问题，转化问题，和解决问题。函数思想是高中数学中最重要的数学思想方法之一。

高中涉及的函数很多，比如：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、复合函数等等。还包括定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性，以及与图像的联系等函数的性质。方程，不等式，数列等等同样是与函数有关的知识点。

二、在解题中的应用

（一）在导数中的应用

一个函数的导函数仍然是函数，通过研究导函数图象和性质可以研究原函数的图象和性质。

【例1】 的极值点，则 的极小值为（）

A.-1            B.                C.                    D.1

【评注】在利用导数求函数的极值（零点或最值）的过程中，都需要经过列方程（组）的过程。

【解析】因为

所以  .

因为 是函数 的极值点，所以-2是 的根，所以 ， 。令 ，解得 令 ，解得 ，

所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，所以当 时， 取得极小值，且 选择A。

（二）在数列中的应用

数列是定义在正整数集或它的有限子集上的函数。因此，在研究数列的最大（小）项及前 项和的最值等问题中，应当注意把函数的有关知识融入到数列中。

【评注】先求出数列的首项 和公差 ，再将 表示为 的三次函数，利用函数相关知识求解。

【评注】数列是定义域为正整数的一种特殊函数，利用函数思想处理数列是最常见的方法。

（三）在解析几何中的应用

【评注】第（1）问中通过联立方程，证明直线 与 的斜率之积为-1即可;第（2）问根据（1）及 的坐标即可求解。

（四）在不等式中的应用

通常采用构造函数的方法处理有关不等式的恒成立、不等式有解的问题，利用函數的图像或者性质等进行转化，确定相关参数的取值范围或是最值，解决问题。解决问题前要先弄清是对哪个变量恒成立，变量的取值范围，再根据函数类型求最值。

【例5】设函数 若存在唯一的整数 使得 ，则 的取值范围是（）

B.          C.             D.

【评注】本题通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而求解参数的取值范围。

【解析】由题意可知存在唯一的的整数 ，使得 ，设 ，

，由 可知 在 上单调递减，在 上 单调递增，作出 与 的大致图象，故 ，即 ，所以 ，故选D。

【评注】当问题中出现两数积与两数的和时，是构建一元二次方程的明显信息，构造方程后再利用方程知识可巧妙解决问题。

三、教学策略

（一）有序性策略

数学概念和原理是数学思想方法的载体。数学概念发展的有序性是由数学的逻辑性决定的，因此思想方法的产生与发展也具有一定的顺序性。概括性高、统摄性强等都是函数与方程思想的特点。函数与方程思想的形成需要经历较长的过程，因此，教学过程需要有序性。

（二）过程性策略

掌握数学思想方法需要经过模仿——领悟——应用的过程，由浅入深、循序渐进便是函数与方程思想的教学的过程。函数与方程思想的教学需要教师精心撰写相关的教学方案，有计划地安排教学活动，帮助学生领悟思想方法，这就需要一个循序渐进的过程。

（三）变式策略

在认知心理学中，问题的变化性让解决问题的策略也具有了变化性。能否清楚地识别出问题的本质特征然后选择合适的解题策略决定了学习者能否顺利解决问题。认知心理学认为，“程序化、自动化”的决策行为是有害的，会产生“定势效应”。因此，“双基”教学不提倡“题型训练”的行为，而是提倡教师让学习者在有变化性条件的问题中进行联系，进行变式教学，使学生能在具体情境中作出正确的判断。

参考文献：

[1] 车树勤.函数与方程思想（上）[J].数学教学通讯数学金刊，2011，9：34-34.

[2] 赵华.数学思想与方法在高中数学中的渗透研究[D].苏州：苏州大学，2011.

[3] 刘佰秋.函数与方程思想在普通高中数学中的实践研究[D].东北师范大学，2012.

[4] 涂钊榕.高中数学中函数与方程思想的研究[D].福建师范大学，2012.

[5] 蔡斌.方程与函数思想在高中教学的实践探究.理科考试研究（高中版）[J]，2013，9：19-19.

[6] 杨春元.函数与方程思想在不等式教学中的应用.高中数理[J]，2013，18：26-27.

[7] 曾雪萍.函数与方程转化问题在高考题中的体现.试题与研究：教学论坛[J]，2013，3：45-45.

[8] 米山国藏，毛正中 吴素华译.数学的精神思想和方法[M].成都：四川教育出版社，1986：序.

[9] 钟山.高考备考工具书[M].沈阳：辽宁教育出版社，2010，3：384.

[10] 刘福栋，对高中数学思想教学的认识与实践[J].新课程学习（学术教育），2011，5：48-48.