高等数学精讲多学模式的研究

邱 云 兰

(广州工商学院，广州 510850)

一、问题提出

课堂是师生间进行互动交流的重要场所， 教学设计要充分体现有效的互动交流和精讲多学。 要在“讲得精”“讲得新”“学得好”“练得多”上下功夫。将主要时间交给学生去学习、理解、体验、观察、模仿和制作。 理解是数学学习的关键和核心，没有数学知识的理解就没有数学知识技能的掌握，也就没有数学能力的发展，更没有大家热议的学生良好数学素养的形成。良好的数学素养习惯形成的核心在于有恰当和精确的判断能力。如何科学地判断和把握整个教学过程教与练活动的比例，确保练的活动能够合理、充分地与教的活动更加协调，成为教与学方法研究深度化的一个着力点。教学方法作为教学论学科领域的重要范畴，“是联系师生和课程内容的桥梁与中介，是课堂教学中最具有活力的因素之一”

多练并非多多益善，并非盲目练习，而应是有限度、有针对性的练。 教师应对所练的内容深入研究，需要教师减少课堂讲的时间。精讲多练，以学定教，自主探索。互动交流，发挥潜能，提升能力，能启迪学生智慧养成健康人格。精讲多练是时代赋予高校的历史使命,精讲与多练是辩证统一的，讲与练的活动比例要根据学情来确定。即学生会的不讲，学生可以寻求教材或同学帮助掌握的不讲，讲学生通过交流后不会的、不能理解的重点内容中的关键之处， 讲时语言精练，紧扣主题，以点带面。方法先练后讲，问题驱动，形式上课课精讲，丰富多彩，角色由“知识的讲授者”变为学习的“引领者”。课堂是提升教学质量的主渠道，课堂给学生布置课后预学内容，多练是指有针对性的练习。包括新授课中的例习题等。引领学生对预设内容自主探索，探索后小结提炼概括。没有自主探索，就没有问题驱动，没有问题驱动就没有思维方向，没有思维方向就没有思维目标，有了思维目标才有动力、有创新。有对问题兴致高涨的探索、各抒已见的讨论、神采飞扬的练习，智慧火花闪亮课堂。 中国传统教育重视教的研究，讲得多、讲得全，一讲到底，以为讲得多学生就学得多、练得多、练得好,这是当前高校课堂普遍存在的问题。不重视“学”的研究，或学的研究不足。学生是一个有智慧的群体，不可小看学生的能力，不能堵赛学生心灵发挥的“通道”，不能不考虑学生的感受和互动，不能不给学生展示智慧的机会，要把握好学的路径。精讲多练在于卓越理念引领，精讲多练在于内在动机激发，感受数学精妙，形成学术志趣。

二、精讲多练的实践与探索

课堂是一个可以良性交流互动的空间，教师只管讲、学生只管听的课堂已不能满足教学要求，教师不但要管讲、管听、还要管课堂上的良性互动，互动解题。有了良性的互动才能深度理解和解释文本，有针对性地解答数学问题。哈尔莫斯说：“学习数学的最好方法是解题”。要学好数学，一定数量的解题训练是必须的，解题的目的有两个：一是强化对概念与原理的理解；二是提升分析和解决数学问题以及实际问题的能力。前者一般是在讲概念与原理阶段完成，后者则是侧重强化数学知识的综合应用。

1.精讲多练的意义

著名数学家、教育家杨辉认为，学生的学习应该融类傍通，不需要所有的知识都由教师传授, 人本主义提倡内在学习，认为应依靠学生内在驱动去自觉、主动、创造性学习。构建主义认为，学习不是知识从外到内的传递，而是人积极主动构建的过程。由教的过程转化为学的过程和练的过程，精讲多练的根本意义在于促进学生的学，在于追求精力投入和知识、能力增长的最大化,教师“精讲”，为学而讲，为练而讲。 现代教学注重教与学的多边互动，七十年以来教学方法研究的一个显著特征是在提升学生活动的比例迈上了较大步伐，努力彰显学生的主体地位。被动讲、被动学转向为善讲乐学。讲得精课堂才能给学生的学留下 “空间”。 有了空间学生学习的内在动力和创造意识的精神才能得到提升。

精讲包括讲学生自学、练习和合作学习，讨论之后仍存在的疑难问题给予针对性的画龙点睛的讲，精讲必须丰富和巧用语言表达，整合与使用多媒体技术，从而从讲本位转化为学本位。多练分为三段，课堂、课后和课前，课堂“先练后讲”布置自主学习内容，为学生成功自学提供帮助和指导。 其次，善于倾听、善于观察，善于分析成功与失败的自学经验和教训，防止由“讲惯”变为“书灌”，防止“两级分化”加剧，努力减轻学生负担。最后检查结果，督促学生自觉完成学习任务，养成自学习惯，提高学习能力。

2.精讲多练，以学定教

知识是经验的结果，从本质上说，学生的学习是在教师的引导下自我构建的结果，成为学生构建结果的组织者、参与者、合作者、策划者、评判者、规律提升的拔高者。高数课堂教学不仅要了解学情，精讲知识，更应该讲知识的理解和运用，从而明白道理、悟出方法、养成习惯，激发学习内驱力。让学生有充分的时间“试错、犯错、知错、改错”。

(1)精讲概念和例题，强化概念例题的应用引领示范

概念是判断的工具，它能形成类化的能力，使我们的知识标准化，并促进对未知事物的认识。例题教学是决定教学效果的关键环节。概念和例题是教学的重要载体，概念和例题的示范引领，即新知识应用的示范引领，解题程序与表述的示范引领，学习如何解题的示范引领 。张奠宙说，“数学是自己思考的产物，首先要能够自己思考起来，用自己的见解与别人的见解进行交流。郭运瑞主编，西南交通大学出版的公共基础课系列“十二五”精品规划教材《高等数学》，第四章定积分，第126页，例9。

怎样让学生的思维真正活动起来，这个动力就是“问题”，这案例思维价值的问题可以把学生带融“愤悱”的境地。 在课堂教学中注重高层次与低层次的提问，此题能看懂吗？这一提问制造了学生的认知冲突，使课堂出现了观点的交锋，智慧的碰撞，有的学生说看不懂，需要讲，有的学生说看得懂，不用讲。好。请你讲！此例根据不定积分的概念，求原函数，可将其结果求出，求导的结果是被积函数。但教材的求解出现4处知识性的错误。错在哪里？请你上来改，改正后，给予激励和提问，你有另解吗？有。有两种解法：用数形结合的方法或用换元法求解。 这时课堂的热闹不仅仅停留在学生肢体的活动上，而体现在学生思维的活动中。这时教师在肯定他的回答和解答后，提醒同学们注意：寻求一题多解开拓多向思维。 教材出现错误是比较少的，请你们不要太相信教材，但也要重视教材，教材是试题的基本源头，是考试命题的重要依据，不少试题甚至有的高考题都是在教材中的例习题，或是在教材的基础上组合、加工而成，知识方法源于教材，有的高于教材。你们不但要有“容错“的肚量，更要有“融错”、防错、改错的技巧。有计划、有目的、有针对性地设计不同形式的教学情境，让学生有充足的时间去观察、去体验、去判断、去改错,促进学生学习兴趣的提高。让学生在学习知识的同时采用多种形式交流，增进生生之间、师生之间的情感。

例题是教材的重要部分，是实现课程目标、实施教学的重要资源。随着人类面临的问题日益复杂，课程综合性趋势明显。 面对综合性疑难性的例题，既要知“难之所在”，又要明“难”的原因。高数，同济大学数学系编，第七版下册， 144页例2。

解 画出积分区域图，(图略)，确定积分区域D的类型，是X型还是Y型，或既是X型也是Y型，根据类型，写出D的不等式表达式。

但是，数学基础和能力的差异是教学所不能回避的一个难题。怎样解决这一难题？教师的教学设计和例题的选择要体现学生的基础与能力的差异，搭建基础知识平台、综合知识平台、考试平台，精心设计例题，以教材例题为主，以唯一的正确答案为主，保持题形基本稳定，建立重视教材用好教材的科学机制。

(2)精讲练习，以练为主

教师的教学设计和教学过程要充分体现精讲多练，将主要时间交给学生去体验、去观察、去模仿、去制作。针对部分学生教师一讲就“懂”，或者不懂，一做就错。为此，采取先练后讲,错了再讲的方法。这样不仅有利于培养学生的自学能力，更能促进教学质量的提升。例如，在教学极限运算这一节书时，对概念和定理3，两个和差积商的极限的计算，学生是可以看懂的，可以不讲或精讲。任何工作任务的完成都会有时间节点，学习速度和学习效率的把握非常重要。在课堂教学中，教师应根据教学大纲中的课时量要求，精心设计训练学生快速获取教材之外、补充与课程内容密切相关的学习资源，提升学生的学习能力。在课堂教学中不仅注重学生的聆听、记忆、理解、思辩能力的训练，而且更要注重学生的动手能力。 设计如下练习，让学生动手练习。

通过展示，让学生反省自己在课程知识的学习和掌握上、在学习的方式方法上存在的不足，养成反省和自律温故而知新的习惯。反省有三种类型：一是技术性反省，主体的反省主要集中于模仿行为的规范性、模仿策略的有效性以及模仿预设目标的达成性，体现一种日常性经验性反省；二是实践性反省，主体不仅注重对模仿结果的反省，而且更关注模仿效果的因素、模仿的内在逻辑关系以及模仿的价值取向等；三是批判性反省。是一种价值承载的文化知识传承和创新的特殊交流。 通过展示可以反映学生的学与教师教的不足， 如果不展示，发现不了学生会出现如此多问题，出现问题，有教师的原因，也有学生的原因。 首先反映了学生没有看懂和理解例题的引领作用，在求解过程中何时符合写极限，何时不能符合写极限，也反映了教师在讲述极限的四则运算法则时没有挖掘隐藏在概念背后的深刻的数学思想，使学生搞不清楚概念的内涵，定理3求极限的商的前提条件没有提醒学生注意。也许是教师强调不能用后面没有学习过的内容解前面的练习题，或学生没有听进去，造成解法5用罗必达法则求解。通过学生认识了错因，从而强调看懂例题，领会概念的重要性。 数学概念是数学理论的核心和精华，忽视对数学概念的理解是当前数学教学中的突出问题。 教过不如练过，讲多不如练多，练多不等于“书灌”，不等于加重学生的学习负担，也不等于练得越多越好。要围绕教学内容有针对性的善于练习、善于举例、善于提问、善于设疑、善于比较与优化，有针对性的练习是不能少的。通过一定的练习促进学生更积极、更深入、更合理地去进行思考。思考概念、公式、定理、法则和图表，这些概念、公式应用到习题中，涉及本质、过程、结构、思想等隐性内容，做到“深入浅出”。

高等数学是文化必修的基础课，为后续学习搭建平台,对相关学科的研究具有重要意义。设疑难题先给学生思考，思考高数下册复习题十，第185页，1填空：(1)。

数学家苏步青报考国际知名的日本帝国大学，对解几和微分两门课程做了近万道题，结果考上双百分，杨乐院士初二考高三，在课外做了1万多道题，解题能力很强，被同学誉为“数学神童”。根据有关研究，通过读获得知识的保持率10%，通过听获得知识的保持率20%，通过看获得知识的保持率30%，通过看和听获得知识的保持率50%，通过交谈获得知识的保持率70%，通过教谈和解题获得知识的保持率90%。杨辉认为：“好学君子自能触类而考，何必轻传”。对练习多少达到心中有数。

根据学情和教学内容的需要，有计划、有目的、有针对性的设计不同形式的教学情境，从“形象”到“抽象”进行预设，从“错误”到“感悟”进行预设，预设的教学内容，要充分考虑基础性、层次性、疑难性，注重精选内容，注重课堂、课后小结、阶段小结、提炼概括、梳理知识体系的同时，让学生在习得知识受到不同形式的交流能力的训练。口头和书面交流是学习各门功课、成就各门专业的基础，有了基础才能营造学习氛围、丰富课堂教学方式和内容，提升学生的交流能力，增强生生之间、师生之间的感情。努力追求促进学生学习的“生气”“灵气”和“勇气”。 但高深的数学难题的练习，要经过茶饭不思、失败累累的痛苦过程。 因此，需要提倡苦读，提倡一点头悬梁、锥刺股的精神。启迪学生智慧的智慧，以智慧激活智慧，发展智慧，生成智慧沃土。只有这样，学生才能向其师、从其师、亲其师、信其道，进而践其道、乐其道。

三、结语

精讲多练是数学教学的基石。 那种把教师置于绝对的位置的“一言堂”和忽视教师有效指导的“放羊式”都不会有高的教学水平和好的教学效果。精讲多练不仅是检查教与学的重要手段,而且也是对学生所学、对教师所教内容的反思。 通过反思，改进教与学的方法，提高课堂效率。 通过精讲多练，查漏补缺,达到促进学生素质的提升之目的。课堂是提升教学质量的主阵地，课堂不仅是教师表演的舞台，更是学生展示的天地。抓住课堂求效益，抓住质量不放松。教学质量的提升，不仅是衡量教师课堂教学艺术的标准，而且也是落实立德树人的根本任务。

关注教学目标的落实。无论是“数学应用”覆盖范围的拓展，还是对问题解决基本过程的强调，其目的都是为了实现数学课程的总体目标。 重视数学基础知识的理解和掌握,数学基本技能的提高，数学基本思想的感悟，数学基本活动经验的积累。找回应用的好传统。除了原有教材提供的材料以外，还要留心收集好的鲜活的实例，应用到自己的教学中去，以努力体现教学目标，为学生养成用数学的意识做出表率。 也就是说，高等数学精讲多练模式的研究要达到较高层次的质量，除了软件、硬件、技术以外，最重要的是作为“人件”，人的知识水平、人格魅力。数学素质高，功底好,方法佳，才有可能教好学生。