玩转高考题——直线与圆篇

苏 玖

高考题（2019年浙江卷第12题）已知圆C的圆心坐标是(0,m)，半径长是r．若直线2x-y+3=0与圆相切于点A(-2,-1)，则m=____，r=____．

点拨本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是基础题.

如果把圆心放在x轴上，半径确定，直线方程含有参数，两者位置关系不变，于是得到改编1．

改编1

已知圆C：(x -m)2+y2=5，直线l：2x-ay+b=0。若直线l与圆C相切于点P(-3,1)，求m,a,b的值.

点拨本题中圆心在y轴上滑动，半径确定，直线是一条动直线，改变圆方程的形式，如圆是以参数方程形式给出，于是得到改编题2.

改编2

已知直线l：ax-by-2a+b+4=0与圆C：相切，则ab的最大值为，的最小值为_______.

点拨直线与圆相切时，有且仅有1 个公共点，如果有两个不同交点，就是相交问题，于是就可以改编为有关弦长问题，请看改编题3.

改编3

已知过P(3,5)的直线l与圆O：x2+y2=25 交于A,B两点，若AB=8，求直线l的方程.

点拨本题已知弦长求直线方程，同学们容易遗漏直线斜率不存在的特殊情况.直线与圆的问题常常与平面向量整合为小型综合题，于是有改编题4.

图1

改编4

已知圆O：x2+y2=r2(r＞0)，直线l：x+y-2=0 与圆O交于A，B两点，点C在圆O上，若，求r的值.

点拨本题是一条直线与圆相交，是不是也可以两条相交直线与圆相交组成四边形，然后研究两条弦长的相关问题，如过某一定点作两条弦，求弦长的平方和的最值等，请看改编题5.

改编5

已知圆O：x2+y2=8，经过点M(2,0)的两条直线l1,l2分别交圆O于A,C和B,D点，∠AMB=120°，且圆心O在∠AMB内部或者角的边界上，求AC2+BD2的最大值和最小值.

点拨本题是研究圆内接四边形的对角线平方和的取值范围问题，当然也可以改变条件，如以向量形式给出，研究三角形的面积最值问题，请看改编题6.

图2

改编6

已知圆O：x2+y2=8，经过点M(2,0)的两条直线l1,l2分别交圆O于A，C和B，D点，∠AMB=120°，且圆心O在∠AMB内部，，求△POQ面积的最大值.

点拨本题是圆与向量线性运算整合的综合题，要求三角形最值引入变量，分析引起三角形变化的原因是∠AMO，于是自变量就确定了.

答案与解析

原题：-2；.

改编1：将点P的坐标(-3,1)代入圆C的方程得，(-3-m)2+1=5，解之得，m=-1 或m=-5，再将点P的坐标代入直线方程得，a-b=-6．又因为直线l与圆C相切，所以kPC×，即(m+3)a=2．当m=-1时，a=1，b=7；当m=-5时，a=-1，b=5．故m=-1，a=1，b=7 或者m=-5，a=-1，b=5．

改编2：将圆C的方程化为(x-2)2+(y-1)2=4，由直线与圆相切知，，即a2+b2=4。又由基本不等式知，a2+b2≥2|ab|，所以|ab|≤2，所以ab的最大值为2.又因为，当且仅当|a|=时，ab的最大值为2，的最小值为1．

改编3：当直线斜率不存在时，直线方程为x=3，此时圆心O到直线距离为3，于是AB=8.当直线斜率存在时，设直线方程为y-5=k(x-3)，圆心O到直线距离为，由AB=8 得，，即d=3，所以，解之得，所以直线l的方程为8x-15y+51=0．

改编4：利用点到直线距离公式得，，即圆心O到AB中点D的距离为.于是，两边同时平方得，再将已知等式两边平方得，，即，解之得，.

改编5：设圆心O到AC，BD的距离分别为d1,d2，因此，所以下 求的最值． 设∠AMO=α(0°≤α≤120°)，于是，d1=2sinα，d2=2sin(120°-α)，因此，进行三角恒等变换化简得，由于-30°≤2α-30°≤210°，因此所以，所以40 ≤AC2+BD2≤52，故AC2+BD2的最大值为52，最小值为40.

改编6：分别取AC，BD中点E，F，由平面向量知识得，，即，同理可得，，因此EF是△POQ的中位线，所以S△POQ=4S△EOF.设∠AMO=α(0°＜α＜120°)，于是，同改编5，可得d1=2sinα，d2=2sin(120°-α).

解题回顾

直线与圆的位置关系中重点内容：

1.相切、相交；

2.与三角形、四边形等相关的面积最值或范围；

3.与向量或圆锥曲线等结合的问题.

处理直线与圆的位置关系问题的步骤：

1.由位置关系找出相关量的等式或不等式；

2.利用圆的几何性质简化运算；

3.运用所熟悉的知识（如二次函数、导数、基本不等式、三角函数性质等）和数学思想方法求解.

小试牛刀

1.（2019年天津卷理科第12 题）设a∈R，直线ax-y+2=0和圆为参数）相切，则a的值为____．

2.已知圆O：x2+y2=r2(r＞0)，若直线l：x+y-2=0 与圆O交于A,B两点，，求r的值.