立体几何问题的正确打开方式：“算”与“思”（上）

曾 荣

同学们，你们知道立体几何研究什么吗？在高考中是怎么考查的吗？

近几年的全国卷立体几何解答题，绝大部分采用“一半证明，一半计算”的方式，即第一问主要考查线面位置关系的证明，第二问涉及角与距离或体积的计算.在解决几何计算问题时，综合几何法和向量坐标法是两种常用的方法.

敲黑板

立体几何主要研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系．高考立体几何试题考查的重点内容为点、线、面位置关系的判断、证明和计算等问题．

依托空间向量，注重计算，算思结合

例1 （2019年高考全国I理科卷）如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC，BB1，A1D的中点．

（1）证明：MN∥平面C1DE；

（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．

图1

【思路剖析】

第一问思路：证MN∥平面C1DE的大方向是证MN∥ED．通常的方法有：

①直接法：将MN，DE置于四边形MNDE中，证明四边形MNDE是平行四边形；

②间接法：通过第三条直线过渡证明平行关系.取AD的中点F，连结FB.通过FB∥MN，FB∥ED证明MN∥ED.

第二问思路：本题研究的几何体是直棱柱，故z轴的方向是明确的.试题中已知底面是菱形，且∠BAD=60°，故能否结合这一图形特征挖掘垂直关系，建立合适的坐标系成了解决问题的关键.

①建系方案

图2

②方案比较

方案方案1方案2方案3方案4以上四种方案，各有优点，结合本题的图形特征和数据特征，本题采用方案1、2、4比较合适相关点的坐标A(2,0,0)，B(1,3,0)，C(-1,3,0)，D(0,0,0)E(0,3,0)，M(1,3,2)，N(1,0,2)，A1(2,0,4)A( 3,-1,0)，B( 3,1,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)E(3 2,3 2,0)，M( 3,1,2)，N(3 2,-1 2,2)，A1( 3,-1,4)A( 3,0,0)，B( 3,2,0)，C(0,3,0)，D(0,1,0)E(3 2,5 2,0)，M( 3,2,2)，N(3 2,1 2,2)，A1( 3,0,4)A( 3,0,0)，B(0,1,0)，C(-3,0,0)，D(0,-1,0)E(-3 2,1 2,0)，M(0,1,2)，N(3 2,-1 2,2)，A1( 3,0,4)优点直接利用了图形中已有的垂直关系AD⊥DE，建系方式便捷与方案1 位置不同，本质一样，其中AMA1的法向量已知，无需另求需要作出辅助线，建系方式相对隐蔽，各点的坐标均为正数具有对称性，点的坐标容易写出

【规范解答】

（1）证法一：连结B1C，ME.

在直四 棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1B1∥AB，AB∥DC，

A1B1=AB，AB=DC，

所以A1B1∥DC，A1B1=DC.

所以四边形A1DC B1为平行四边形.

所以B1C∥A1D且B1C=A1D.

因为M,E分别为BB1，BC的中点，

所以ME∥B1C，且.

图3

又因为N为A1D的中点，所以.

所以ME∥ND，ME=ND，

因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED.

又MN⊄平面C1DE，DE⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.

证法二：请同学们参考证法一的过程自行完成.

（2）解法一：在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，D1D⊥DA，D1D⊥DE.

因为底面是菱形，∠BAD=60°，所以三角形BCD为等边三角形，

因为E是BC的中点，所以DE⊥BC，所以DE⊥DA.

以D为坐标原点，DA，DE，D1D所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图4所示的空间直角坐标系D-xyz.

图4

设m=(x,y,z)为平面A1MA的法向量，则

设n=(p,q,r)为平面A1MN的法向量，则

所以二面角A-MA1-N的正弦值为．

其他解法：请同学们参考解法一的过程自行完成.

【归纳提升】