辅助函数，如何构造

李 红 仓万林

问题1：为什么导数还可以继续求导数？

问题2：什么情况下要构造辅助函数后再求导？

同学们，在导数学习时，你是不是有以上的疑问？

那么，在你的理解中，导数究竟是什么呢？再来看一下导数的概念（苏教版选修2-2第14页）：

若f(x)对于区间内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记做f'(x).

在不引起混淆时，导函数f'(x)也简称为f(x)的导数．

导数本身也是一种函数．既然导数可以分析函数的性质，当然可以对导数继续求导分析导数的性质了，问题1 是很自然的．

如何有针对性地构造辅助函数分析其性质呢？举例来看．

例1已知函数y=f(x)，x∈[0,2π]的导函数f'(x)的图象，如图所示，则y=f(x)的单调增区间为________.

图1

解析：由图1 得到，x∈[0,π]时，f'(x)≥0，故y=f(x)的单调增区间为[0,π].

敲黑板

利用导数分析函数性质时，常用方法是构造辅助函数．

敲黑板

这个概念题就曾经坑了不少同学．你掉坑了吗？

用导数分析函数性质的问题中，对于原函数我们通常分析其单调性；对于导函数，我们一般研究其表达式的符号是正还是负．

例2（2019届南师附中、天一中学、海门中学、淮阴中学调研）已知函数f(x)=的极大值为1．

（1）求m的值；

解析：（1）m=1（过程略）.

所以h(x)在(1,+∞)上单调递增，

所以f(x0)＞g(x0)．

以下解题过程请同学们自行完成.

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辅助函数的构造：1.抓住核心的总体或者部分结构；2.所构造的函数要易于求导，易于判断导数的正负.

本题是用导数工具分析函数性质的综合性问题，涉及三个辅助函数的构造.以辅助函数1为例来分析.

表1：例2中辅助函数1构造方案比较（x＞1）