老师，我为什么算得这么慢——直线与圆篇

王思俭

例1在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-2,0)，点B(2,2)，直线l1：ax+y+2a=0与直线l2：x-ay-2 +2a=0的交点为P，则积PA⋅PB的最大值为_____.

小A两条直线方程联立得，，因此，太繁了，算不下去了，只好放弃！

问题出在哪里

同学们，他的解题过程有问题吗？求解策略选择是否恰当？

解疑小A 的交点坐标解错了，纵坐标为，因此，于是，令，利用判别式求得，所以0 ≤PA⋅PB≤10，当且仅当时，等号成立.

注：对于绝对值内部的函数式，可以利用导数法求解，也很容易.

小B我们可以发现这两条直线分别过定点A和B，l1⊥l2，因此PA⊥PB，于是，PA2+PB2=20.由基本不等式知，PA2+PB2≥2PA⋅PB，所以PA⋅PB≤10.

变题1-1在平面直角坐标系xOy中，已知两条直线l1:axy+1-a=0 与直线l2:x+ay-1-a=0（a∈R）被圆O:x2+y2=25截得弦分别为AC，BD，求四边形ABCD面积的最大值．

小A先设出直线方程，再求弦长，然后再求四边形的面积，太繁了，求出由于l1⊥l2，因此四边形ABCD的面积为，所以S≥10 23，当且仅当a=±1时等号成立.故四边形面积的最小值为.

敲黑板

小B 的解法简洁明了，这种观点就是动中有静，先探究这两条直线的过定点问题，然后再研究两条直线的问题关系，而不是盲目求交点.

问题出在哪里？

小A求出来的是最小值，看看解题过程有什么问题吗？

解疑

小C抓住利用基本不等式求解（略）.

小D两条直线互相垂直且都过定点P(1,1)，原点到两条直线的距离分别为d1和d2，，根据上一道题目讨论得，而四边形的面积为，下面用基本不等式求解（略）.

变题1-2在平面直角坐标系xOy中，过点M(3,0)的直线与圆O：x2+y2=25 交于A,B两点，求△AOB面积的最大值．

敲黑板

小D 的方法没有求出AC，BD的具体表达式，利用平面几何知识，很快找到弦长与圆心到直线的距离关系式，从而很快求出最大值.

小A写出直线方程x=my+3，代入圆的方程，化简得(m2+1)y2+6my-16=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，因此，圆心到直线距离，三角形的面积为，做到这一步，感觉很难，不敢做下去了，但后来我又分析式子结构，利用换元法求解，令，则m2=，于是.联想到变量相对集中到分母上，于是，当且仅当t=3时取等号，所以.

小B直接使用基本不等式求解，圆心到直线距离为d，线段，于是△AOB的面积为，利用基本不等式求解，答案也是.

小C因为，所以最大值为，此时圆心到直线距离为.

问题出在哪里

小A、小B、小C的解题过程有问题，你能发现吗？

解疑

小B同学解题过程中等号成立的条件为圆心到直线l：x=my+3距离d为，于是，得出还是无解.

小C的答案是在假设∠AOB=90°的条件下得出的，事实上90°＜∠AOB＜180°，因此错了，他犯了潜在假设的错误.

收纳袋

1.求圆的方程的常用策略

（1）直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．

（2）待定系数法：

①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关，则设出圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；

② 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.

2.求与圆有关的定值和最值问题常用策略

（1）与圆有关的长度或距离的最值问题的策略：根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．

（2）与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：

②形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；

③形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．

敲黑板

只要检验结果是否合适，也就是检验直线方程是否存在就能发现问题了，因此同学们在求最大值和最小值时一定要指出成立的条件.点M是在圆外的时候，利用小B 和小C 的解法确实简单.