高考数学创新型试题的类型及特点分析

胡琳 熊丙章 童莉

[摘  要] 高考数学题的创新响应了时代的号召，在改革发展的时代大背景下，立足新课标理念，评析了近三年典型高考全国卷理科数学创新型试题的四大类型：立德树人型、趣味逻辑型、高等背景型、阅读理解型，通过列举近三年典型高考全国卷理科数学试题，对各类型试题的特点做了分类分析，整体把握了高考试题的创新点.

[关键词] 高考数学;创新型试题;类型及特点

习近平总书记在全国两会重要讲话中提出“三个第一”的重要论断，即“发展是第一要务，人才是第一资源，创新是第一动力.”其中，创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力. 《义务教育数学课程标准 （2011年版 ）》指出“要注重发展学生的创新意识”[1]，《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：数学教育承载着培养学生创新意识的任务，要促进学生实践能力和创新意识的发展[2]. 2017年考试大纲说明提出“高考数学命题应该加强用创新型试题来检验学生的创新意识，高考数学创新型试题是指从测量考生的发展性学力和创造性学力着手突出能力检验的试题[3]. 2009年赵思林[4]教授探究了创新型试题的类型，2018年赵思林[5]等人将高考数学创新型试题分为观察分析型、阅读理解型、合情推理型等12类，2019年刘成龙[6]等人将其分为公式证明型、问题推广型等4类，但创新型试题可从背景、类型、特点等多角度入手，因此本文着重评析了近三年典型高考全国卷理科数学创新型试题的四大类型：立德树人型、趣味逻辑型、高等背景型、阅读理解型，并从中体会到所包含的四大特点，即观念新、思维新、背景新、呈现新.

立德树人型，观念新

“立德”即树立德行，自古以来“立德”是需要坚守的重要品德，“立德”最早在《左传》中出现，即“大上有立德，其次有立功”. 因此“数学教学应具有德育功能”，高考数学试题应该延续中华民族的优良传统，将“德”渗透到高考数学试题中，使之得以弘扬，这也是高考数学试题的创新之处. “立德树人”涵盖丰厚的文化底蕴，育人于无声无息中，以数学文化等观念立意，诠释了有内涵、有价值的观念角度，提升了试题这一文本的潜在高度. 如2017年全国卷Ⅰ理科第2题的“太极图”;2018年全国卷Ⅱ理科第8题的“哥德巴赫猜想”、全国卷Ⅲ理科第3题的“榫卯问题”;2019年全国卷Ⅰ理科第6题的“卦”、全国卷Ⅱ理科第4题的“登月问题”、全国卷Ⅱ理科第16题的“印信问题”.

例1（2019年高考全国卷Ⅱ理科第4题）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系. 为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行. L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上. 设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：+=（R+r）.设α=，由于α的值很小，因此在近似计算中≈3α3，则r的近似值为（  ）

A. RB. R

C. RD. R

评析：本例以嫦娥四号登月为命题背景，通过介绍我国航天事业的伟大成就，进而抛出了数学计算问题，体现了高考命题时对“德育”的引导，也凸显了立德树人的思想方针，此命题角度充分体现了观念的新颖性.

趣味逻辑型，思维新

逻辑是思维的规律，也是创新的起点，将逻辑增添趣味，从而使得思维得到活跃，促进了学习、研究的兴趣，为学生的“思维灵活度”的培养提供了催化剂，提升了学生的逻辑思维能力等. 趣味逻辑型试题以独特的视角、灵活的思考，带给学生新颖的思维情境，帮助学生打开逻辑的大门，对于学生逻辑思维能力的培养十分有利. 如2017年全国卷Ⅱ理科第7题的“询问成绩问题”;2018年全国卷Ⅰ理科第7题的“最短路径问题”;2019年全国卷Ⅰ理科第15题的“篮球问题”.

例2（2017年高考全国卷Ⅱ理科第7题）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成績. 老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩. 看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩. 根据以上信息，则（  ）

A. 乙可以知道四人的成绩

B. 丁可以知道四人的成绩

C. 乙、丁可以知道对方的成绩

D. 乙、丁可以知道自己的成绩

评析：本例以学生向老师询问考试成绩为情境，联系了师生之间的生活情境，颇具趣味性，极大地激发了学生“用脑”“用心”去思考问题情境，使得学生有逻辑的思考空间，并且学生紧张的思绪得以放松，体现了对学生的人文关怀，此题新颖、有趣，充分展现了逻辑的趣味性、思维的新颖性.

高等背景型，背景新

高等背景型试题是指将高等数学知识、方法等作为素材来命制的试题.该类试题的创新体现在三个方面：一是命题素材创新，即拓宽了命题素材选取范围，打破了源于教材的传统;二是试题背景创新，即试题含有丰富的高等数学背景;三是解答方法创新，即可用初等方法，也可以运用高等数学知识解答. 实践表明，高等背景型试题具有积极作用：凸显能力立意的命题原则;强化中学数学与高数知识间的衔接;展示新颖的数学背景;丰富试题的内涵;拓宽试题解法;考查学生创新能力和创新意识[7]. 该类试题为学生个性发展、超前学习、创新拓展提供了更为广阔的视角. 如2017年全国卷Ⅲ理科21题的“柯西不等式”;2018年全国卷Ⅰ理科第21题的“拉格朗日中值定理”、全国卷Ⅲ理科第21题的“洛必达法则”;2019年全国卷Ⅲ第23题的“柯西不等式”.

例3（2018年高考全国卷Ⅲ理科第21题）函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x.

（Ⅰ）若a=0，证明：当-10时，f（x）>0;

（Ⅱ）若x=0是f（x）的极大值点，求a.

评析：本例含有洛必达法则的高等数学背景.在第（Ⅱ）中運用到了洛必达法则，对的分子分母分别求导再求极限，从而求解a值. 洛必达法则的使用条件是分子分母极限均为0，本例的解答方法和命制过程充满了创造性. 命制试卷时要注意构造出满足条件的分式，从而运用洛必达法则巧妙解答，背景具有深刻性.

阅读理解型，呈现新

阅读，字典的解释是“看文字并理解它的意思”. 阅读属于信息输入加工形式，是人类汲取知识、认识世界、可持续发展能力的一个重要方式[8]. 而数学阅读是指学生根据已有的知识和经验，通过阅读数学材料（数学公式、方法、图形、符号、文字等）汲取信息，建构数学意义和方法的心理和智力过程[8]. 从心理学角度分析，数学理解的本质是学习者在头脑中形成关于这个知识的内部网络，即建立了该知识的图式[9]. 可见，阅读是促进理解的重要手段. 阅读理解型试题是指以阅读材料形式呈现的试题. 阅读材料往往介绍一个新定义、一种新规则、一种新运算等等，这些新的信息需要学习在考场上现场加工、内化、运用，这一过程正是新课程倡导的阅读自学的数学学习方式. 如2017年全国卷Ⅰ理科第12题的“激活码问题”、全国卷Ⅱ理科第3题的“塔灯问题”;2018年全国卷Ⅰ理科第3题的“饼图问题”;2019年全国卷Ⅰ理科第4题的“断臂维纳斯”、全国卷Ⅲ理科第3题的“四大名著”.

例4（2019年高考全国卷Ⅰ理科第4题）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为（≈0.618，称作黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此. 此外最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是. 若某人满足上述两个黄金分割比例，腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是（  ）

A. 165 cm   B. 175 cm

C. 185 cm   D. 190 cm

评析：本例是典型的阅读理解型试题，问题之间相互贯穿，体现了问题呈现的新颖性，题中数字多、文字多、比值多，对学生阅读能力要求很高. 解答时，学生需要经历信息筛选→信息加工→信息应用，整个过程为：通过阅读认识头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比、头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比都为，结合比值与人体之间的关系，理清人体各分布的比值，然后将比值运用到题设中. 解答过程中包含对黄金分割比例的认识、理解、运用，着重考查学生的信息加工能力、阅读理解能力.

创新作为高考命题的风向标，已有深刻体现，不难发现在近三年的高考数学试题命制中，立德树人型、趣味逻辑型、高等背景型、阅读理解型这四类创新题型，在高考中呈现得较为频繁，表现出稳步上升的趋势，因此在教学中应该多加练习，熟悉典型高考数学创新型试题. 随着不断地创新发展，使得创新型试题的题型多种多样，其类型及特点也会随之改写、升华，我们应该把握大体趋势，以适应自身素养的提升和高考的需求.

参考文献：

[1]  中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2011.

[2]  中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2017.

[3]  教育部考试中心. 2017年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明：理科[M]. 北京：高等教育出版社，2017.

[4]  赵思林. 高考数学创新型试题的几种类型[J]. 高中数学教与学（人大复印），印2009（5）.

[5]  赵思林，李雪梅. 高考数学创新型试题的若干类型与评析[J]. 内江师范学院学报，2018（2）.

[6]  刘成龙，胡琳. 高考数学创新型试题的几种类型及评析[J]. 中学数学，2019（5）.

[7]  刘成龙，余小芬. 高等数学背景下高考命题的问题及建议[J]. 中国数学教育，2017（22）.

[8]  刘成龙，黄祥勇. 2014年中考成都卷第23题分析及启示[J]. 中学数学，2015（2）.

[9]  喻平. 数学教育心理学[M]. 南宁：广西教育出版社，2004.