初中数学中的构造思想

徐敏明

摘  要：从平时教学中能体会到学生有构造法的意识，却没有构造法系统的归纳与方法，因此学生经常在解题过程中碰到阻碍。从而本文归纳了几种常见的构造法，并讲解如何建立条件与构造对象的联系来获得构造的思路，以便学生更好地掌握构造法，使构造法在解题中发挥出创造性的作用，同时培养学生的解题能力，减轻学生的学习负担。

关键词：构造法;初中数学;创造性;解题能力;思路分析

引言

我在进行八年级上册第四章 《平面直角坐标系》教学时，发现很大部分同学对求两点之间的距离问题感到迷茫与不解。例如：已知O为坐标原点，点A坐标为（1，2），点B坐标为（-1，4），请求线段OA、AB的长？

部分同学可能会直接求OA的长，即一个点到坐标原点的距离，却不知道任意两点之间的距离，只能说明这些同学是靠记公式求得OA的长，而并非正真理解求两点之间距离的知识本源。其实，此题主要是要求学生掌握直角三角形的构造，再利用勾股定理求出AB的长。但是，我们的学生往往缺乏利用构造法解决问题的思想，因此对类似的题目感到毫无头绪。所以，我就对初中阶段的几种构造方法做了简单的归纳，以帮助学生能初步形成构造思想。

正文

首先，我主要通过有限的几个例题，来分析各问题的特点和性质，然后建立与构造对象之间的联系，进而获取构造思路，达到灵活应用构造法解题的目的。

1  构造图形

著名数学家华罗庚教授说过：“数与形，本是相倚依。”一般来讲，代数的问题比较抽象，若能通过构造将之合理转化为几何问题，利用“数形结合”这一重要思想方法沟通代数与几何的关系，往往可增强问题的直观性，使解答事半功倍，实现难题巧解。巧用构造图形不仅可以提升学生数形互用的能力，而且还对培养学生探究能力和建模能力有积极作用。

例1：已知 ， ，求证：

思路分析：刚看见此题，貌似很难找到突破口，但是我们观察左式的形式 与两点间的距离公式很像，不难联想到将不等式的左边看成点 分别到四个点 距离的和。

证明：把不等式左边看成是点 到四个点 距离的和，描出各点，如图所示：不等式左式=AE+BE+CE+DE，且由三角形三边关系可得：AE+CE AC（当E在AC上时，取到等号），BE+DE BD（当E在BD上时，取到等号），所以不等式左式 AC+BD（当E既在AC上又在BD上，取到等号）。

因为AC= ，BD= ，所以

例2：已知 ， ， 为正数， ，求 的最大值。

思路分析：本题很难从已知条件中的式子通过放缩变形得到目标函数，也难以用线性规划的知识构造出已知的区域，那么我们需要思考该如何得到目标函数，这是我们解决本题的关键所在。我们首先分析条件： ， ， 为正数，而且存在 ， ，根据对称关系，那么显然也存在 。根据切线长定理，我们可以将 ， ， 看成是一个有内切圆的三角形的三条边，从而构造得一个三角形。那么目标函数中的各元素可以借助三角形性质得以转化，从而求出目标函数的最大值。

解：以 ， ， 为三条边构造出一个三角形，然后根据切线长定理知道该三角形必有一个内切圆，如图所示：

为方便表示，我们令 ， ， ，根据海伦公式知

，其中

，即目标函数=

又 ，

，

当且仅当 时，即 取到最大值。

当 ， ，

最大值是1。

2  构造方程

通过构造方程，我们建立了已知量与未知量之间的联系，从而沟通了问题的条件与结论，使问题转化为求未知量，这就是我们所用的构造方程法。该法避免了学生对于一些复杂的数量关系的逆向思维，而是可以直接地、正面地构造方程，从而转化条件与结论的联系，也使一些隐含条件明朗化，从而能更加快捷有效地解决问题，因此方程思想能为广大的学生所接受。

例1：已知 ，求证：

思路分析：首先我们可以根据问题中未知量的对称性可知，只要求出其中的一个未知量的范围即可。接着我们可以由条件中的形式出发，得到用其中的一个量来表示 和 ，即 。而且据我们所知，要沟通 和 ，可借助完全平方公式得到 ，所以 。已知 ，通过韦达定理构造出以 为两根的二次方程 ，同时 是其两根。由根的存在性的判定得到结论。

证明：我们由条件可得：

借助完全平方公式 ，

得 。

通过韦达定理构造出一个关于 的二次方程 ，同时 是其两根。

由根的存在性得到结论： ，解得 。

同理可得 范围，所以 。

3  构造数学模型

构造数学模型就是将问题的条件和结论放到一个具体的现实背景中，将其转化为所构造的模型的相关问题。构造数学模型可以渗透数学思想，也使某些数学理论变得更加鲜活，更加明确，从而减轻了学生的学习压力，使学生快乐地学习，这些都符合新课程标准对数学教学的要求。

例：求方程 有多少组正整数解？

思路分析：我们发现该方程的各解都是正整数，与我们现实生活中的数学非常类似，因此我们转换背景，构造模型：12个形状、大小、颜色完全相同的球，任意放入五个不同的盒子中，问共有多少种放法？由题可知，一种放法对应着方程的一组解;反之，方程的任一组正整数解也对应着球在盒中的一种放法，从而问题转化为排列组合问题。

解：我们构造出模型：12个形状、大小、颜色完全相同的球，任意放入五個不同的盒子中，问共有多少种放法？

我们将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个间隙中任意插入4块隔板，把球分成5堆，每一种分法所得5堆球的各堆球的数目，依次对应为a、b、c、d、e的一组正整解。

故原方程的正整数解的组数共有 。

总结语

以上是构造法在中学数学中的几种应用，着重强调的是各种构造法应用的思路分析，在这里只是抛砖引玉，希望能以此引起足够的反思和重视。

新课程为我们提出了新的课程目标，在解题的过程中要善于观察，善于发现，不墨守成规，大胆去探求解题的最佳途径。创新思维是整个创新活动的关键，敏锐的观察力，创造性的想象，独特的知识结构及活跃的灵感是其基本特征。这种创新思维能保证学生顺利地解决问题，高水平地掌握知识，并能把知识广泛地运用到解决问题上来。而构造法正是从这方面来训练学生思维，使学生的思维由单一型转变为多角度型，显得积极灵活，从而培养学生创新思维。在运用构造法时，一定要明确构造的目的，也就是说为什么目的而构造;二要弄清楚问题的特点，以便依据特点确定方案，实现构造。

从以上各例不难看出，构造法是一种极富技巧性和创造性的解题方法，它体现了数学中发现、类比、化归的思想，也渗透着猜想、探索、特殊化等重要的数学方法。构造法解题重在“构造”，它可以构造图形、方程、函数以及其它对象，就会促使学生更加熟悉几何、代数、三角等基本知识技能，并多方设法加以综合利用，这对学生的多元思维培养、学习兴趣的提高以及钻研独创精神的发挥十分有利。因此，在解题教学时，若能启发学生从多角度、多渠道进行广泛的联想，则能得到许多构思巧妙，新颖独特，简捷有效的解题方法，而且还能加强学生对知识的理解，培养思维的灵活性，提高学生自主分析问题的能力。所以“构造法”作为一种重要的化归手段，在数学解题中有着广泛的作用。运用构造法解数学题，不仅可从中欣赏到数学之美，还能感受到解题之乐，更重要的是可开拓思维空间，启迪智慧，并对培养多元化思维和创新精神大有裨益。

希望本文对构造法在中学数学中的应用的研究，可以引導深受构造困惑的广大学子有所感悟，从而感受到构造法解题的优势所在，体会到构造法呈现的数学之美，增强他们学习数学的兴趣。

参考文献

[1]  姚祥江，施建昌.重水复疑无路，巧用构造辟蹊径[J].教学金刊，2004，7（11）：30～31.

[2]  王平，李明鸿.构造图形证明不等式[J].河北理科教学研究，2009，11（5）：49～50.