浅谈矩阵的特征值及其求法

摘  要：矩阵特征值理论在许多实际问题的解决中起着重要作用.本文主要研讨了矩阵的特征值及其性质以及矩阵的特征值的求法，为读者能够更加全面深入，清晰的理解和掌握矩阵的特征值及其性质和如何求矩阵的特征值，提供一些基本思路，常见的方法和参考。如有不妥之处，请读者给予批评指正。

关键词：特征值;矩阵;行列式;逆矩阵

在18世纪，达朗贝尔在对常系数线性微分方程组解的研究中，最早对矩阵的特征值的进行了探讨，同时，柯西通过对二次曲面及二次型的探讨，证明了实对称矩阵的特征值皆为实数，随着现在科学的发展，经常在的特征值理论现已广泛应用于现代科学技术的各个领域。

一. 特征值的定义

定义：设 为 阶方阵，如果 ，则称 为 的特征值。

二.特征值的性质

性质1：设 为 阶方阵，则 必有 个特征值 。

性质2：设 为 阶方阵 的特征值，则有

（1） ;（2）

性质3：设 为方阵 的特征值，则有

（1） 为 的特征值;（2） 的特征值;（3）如果 为非奇

异矩阵，则 分别为 的特征值;（4）如果 为 的多项式，则 为 的特征值。

性质4：实对称矩阵的特征值，都是实数。

性质5：实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量相互正交。

性质6：实对称矩阵的 重特征值，恰好有 个对应于此特征值的线性无关的特征向量

三.求矩阵特征值的常用方法

1. 为具体的矩阵（即 的各个元素具体给出），则求 的特征值的方法，就是求特征方程  的全部根 ，即为 的全部特征值。

解：（1）由 ，可得 的特征值为 。

（2）方法1：首先求 ，然后再求特征方程 的根，即可求得 的特征值。（略）

方法2：设 ，如果 为 的特征值，则 为 的特征值。由于 有特征值为 ，所以 的特征值为 ， 。

一般情况下，用求特征方程的根的方法求矩阵的特征值，比较麻烦，我们可以考虑应用特征值的性质求矩阵的特征值，往往会有收到较好的效果。

另外，在计算行列式 的过程中，往往要特别注意利用行列式的性质，进行“小零降阶”，以便求得 的一次因式。特别是对于3阶及3阶以上的矩阵，一般不宜用对角线法则计算 ，因为 式关于 的3次或3次以上的多项式，因式分解有一定（或十分）困难。

2. 是抽象矩阵时，计算矩阵 的特征值的常用方法为：（1）利用矩阵特征值的定义;（2）利用矩阵特征值的性质;（3）利用 等相关联矩阵特征值的关系.

例2：设 阶方阵 满足 ，证明 的特征值是1，或 -1.

证明：设 的特征值为 ， 是 的对应于 的特征向量，则有 ，将其两边

左乘矩阵 ，得到 ，因为 ，所以 ，又由于

故 ，因此，矩阵 的特征值是1.或 -1.

例3：设 阶方阵 满足 ，而且 ，证明-1是矩阵 的特征值。

证明：因为 ，所以 ，从而 ，又由于 ，

所以， 。又因为 ，所以，-1是矩阵 的特征值。

例4：设三阶矩阵 的特征值为1，2 -3，（1）求 的特征值;（2）求

的特征值。

解：（1）因为矩阵 的特征值为1，2，-3，所以， 。又如果 为 的特征值，则 的特征值为 ，所以， 的特征值为 -6，-3，2;从而 的特征

值为-12，-6，4;因此 的特征值为 。

（2）由于 的特征值为1，2，-3，又由特征值的性质可知，如果 为 的特征值，则 的特征值为 ，所以， 的特征值为2，16，-54;从而 的特征值为

;因此， 的特征值为 。

例5：设3阶方阵 满足 ，求 的特征值。

解：设 ，则由

，且

，可得 ，即 ，从而可得矩阵 的特征值为 。

例6：设4阶方阵 满足 ，求 的伴随矩阵 的一个特征值。

解：因为 为4阶方阵，所以有， ，从而，可知 有一个特征值为 。又因为 ，所以， 又由 ，可得

，根据特征值的性质，可知 由一个特征值为 。

例7：证明：（1）如果正交矩阵 的行列式 ，则 是 的特征值;

（2）如果奇数 阶正交矩阵 的行列式 ，则 是的特征值。

证明：（1）因为 为正交矩阵，所以 ，又 ，从而有

，

因此 ，也即 是 的一个特征值。

（2）因为 為奇数 阶正交矩阵，所以有

从而 ，也即 是 的一个特征值。

参考文献

[1]  李乃华.赵芬霞.赵俊英.李景焕.线性代数及其应用导学[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2]  北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3]  张禾瑞.郝鈵新.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1984.

[4]  高等代数与解析几何（下）[M].北京：高等教育出版社，2003

[5]  高等代数与解析几何（下）[M].北京：高等教育出版社，2003

[6]  郭聿琦.岑嘉评.徐贵桐.线性代数导引[M].北京：科学出版社，2001.

作者简介：杨付贵（1957.5）男，天津人，副教授。从事最优化方法研究。