不等式证明的若干方法

陈瑞

摘  要：无论在初等数学还是高等数学中，不等式都是十分重要的内容，而不等式的证明则是不等式知识的重要组成部分。在本文中，我总结了一些数学中证明不等式的方法。在初等数学不等式的证明中经常用到的有比较法、作商法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、放缩法、换元法、判别式法、函数法、几何法等等。在高等数学不等式的证明中经常利用中值定理、泰勒公式、拉格朗日函数、以及一些著名不等式，如：均值不等式、柯西不等式、詹森不等式、赫尔德不等式等等，从而使不等式的证明方法更加的完善，有利于我们进一步的探讨和研究不等式的证明。通过学习这些证明方法，可以帮助我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维的能力以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯。

关键词：不等式;比较法;数学归纳法;函数

1绪论

1.1前言

不等式作为一个重要的分析工具和分析手段，在数学中具有举足轻重的作用和地位，不等式的证明可分为推理性问题和探索性问题，推理性问题是指在特定条件下，阐释证明过程，解释内在规律。

相对于等式的可确定性，不等式更像是确定一个界限，制定一个条件来规范，和划定一个范围，所以不等式的证明是非常有趣和富有挑战。不等式的证明没有固定的程序，证法因题而易，灵活多变，技巧性强。其最基本的方法是应用定义及基本性质，并通过代数变换予于证明。要追寻一个大家所熟知的不等式的起源是很困难的，很可能它是在一篇关于几何或文学方面的论文中作为一个辅助命题首先出现，但在出现的时候却又往往没有明确的表达出来;过了若干年后，它又可能为几个不同的作者重新发现;但也许没有一个可以过得去的叙述是十分完善的。我们几乎常常发现，即使对于那些最著名的不等式，也还是可以增添一点新的东西，像不等式这样的一个内容，它在数学的各个方面皆要用到。

1.2不等式的基本性质

这个定义虽然简单，实际它反映不等式的性质。许多不等式的证明，是从这个定义出发。首先，根据不等式的定义，容易证明下述不等式的简单性质，这些性质是证明其他不等式的基本工具。

2证明不等式的方法

不等式的证明没有固定的程序，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。其最基的手法是应用定义及基本性质，并通过代数变换予于论证。

2.1证明不等式的基本方法

2.1.1比较法

作差比较，要点是：作差——变形——判断

这种比较法是普遍适用的，是无条件的。

2.1.2做商比较法

做商比较法的要点是：作商——变形——判断。

这种比较法是有条件的，这个条件就是“除式”的符号一定。

2.1.3分析法

从求证的不等式出发，分析不等式成立的条件把证明这个不等式转化为判定使這个不等式成立的条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都以具备那么就可以判定这个不等式成立，这种证明方法叫作分析法。

即原不等式成立。

参考文献

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[2]陈纪修，於崇华，金路.数学分析[M].北京：高等教育出版社.2004，6（02）.

[3]戴士弘.职业教育课程教学改革[J].襄樊职业技术学院.北京：清华大学出版社，2007.

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