问题解决为导向的学生核心素养培养研究

四川省攀枝花市第七高级中学校

不管是初等教育还是高等教育,不可否认课堂教学依然是教育各个阶段不可或缺而且非常重要的组成部分.如果课堂教学仅仅是以考试分数为导向的,那么学生失去的不仅仅是三年的时光,可能也错过了思维品质发展的黄金时期.而“核心素养”概念的提出,让我们不得不重新去审视现有的课堂模式以及学生综合表现的评价方式.如果我们不想培养只会考试的学生,那么就必须对现有的课堂模式做出改变和调整,与之相对应的学生评价方式也需要改变.要真正实现让学生学会用数学的眼光看世界,用数学的思维思考世界,用数学的语言表达世界.笔者认为最关键的是,转变学生的学习方式——从单一的简单模仿被动地“接受”知识过渡到以个人或者小组为单位以问题为导向的主动“探索”知识.

知识的产生、发展和升华其实都孕育在“问题的解决”之中.正如四川省教科所的吴中林教研员所言——培育核心素养,关键在于“注重过程,落实四基,提升四能”,(“四基”指知识、技能、思想和经验,“四能”指发现、提出问题和分析解决问题)抓住这个关键,就培育数学核心素养.笔者想从教材和课本中的有限的素材出发,探讨如何“提问题”、如何根据问题“做示范”进而怎么让学生增长相关的活动经验,进而让整个“提出问题”、“分析问题”和“解决问题”的过程能够源源不断地进行轮转下去.笔者认为,以问题为导向的驱动,是学生后继学习和提升自身素养的关键.

1 立体几何中“蕴含”的反问题

立体几何与平面几何相比较最大的差异是,识别空间中的点线面的位置关系以及利用几何体的“三视图”进行三维的反向构建.这两方面对学生的空间想象力以及空间抽象能力提出了更高的要求.如何让“二维”过渡到“三维”更加的平稳和自然,笔者认为积累原始素材是一方面,更重要的要帮助学生在大脑中形成从平面图形“搭建”空间几何体这样的一个过程.笔者在《从三维反向构建来初探高中学生思维的培养》重点探讨了这一个过程.

在此过程中,笔者关注到了立体几何中所“蕴含”的另外一个问题——“反问题”.

“三视图”是三维的几何体在二维的平面上形成了三个不同的投影图.只要掌握了平行投影的规则,识别并画出“三视图”并不困难.但反过来,通过三视图构建几何体则需要更多的方法和技巧.那么这样反向构建的空间几何体是否是唯一的?!似乎我们很少做出这样的回答.笔者在教学中发现了如下的案例:

例如:一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( ).

解析:该立方体是由一个四棱锥和半个圆柱组合而成的,所以体积为故选D.

但此题的一个易错点是由于是组合体,上方的几何体在下方的投影容易和下方的几何体的投影重叠造成识别上的偏差.容易将这个几何体识别看作是由一个三棱锥和半个圆柱组合而成的.(其实如果顶部是三棱锥,那么正视图上方的三角形应该有虚线的.),因而错认为体积为

反思:随着空间直角坐标系的引入,让原本的几何问题趋于“代数化”.虽然极大地缓解了部分学生空间想象力不足的弊端,但也同时错过了最重要的空间想象和空间抽象的原始素材,进而也错过了学生最佳的想象力培养时期.与此同时我们教会学生从正面处理问题,同时也需要从反面去思考问题.“正难则反”不仅仅是一种解题策略,更是一种数学思想.解题过程从本质上讲,也是一个反向构建的过程.从问题的局部出发,搭建条件和结论之间的“桥梁”,从而最终还原问题本身的“面貌”.例如:交换定义域和值域的反函数与原函数的对应关系,又比如在立体几何中的“平行”和“垂直”关系,在线线(平行或垂直)关系的基础上推导出线面和面面(平行或垂直)的关系,那么反向推导时,反问题就出现了.

“反问题”现象在高中数学中是普遍存在的.其核心点是“交换”条件和结论,进行反向推导.更一般的情形是,在解题的过程中,如何利用局部条件反向推导分析已知条件,本质上也是“反问题”思考问题的一种方式.在如今耳熟能详的“3D”打印,计算机在图象处理中的“降噪”等一系列问题都是反问题的直接应用.

因此在如今的高中阶段我们如何发现这样的“反问题”,并用数学的语言准确地描述与表达是第一步.其次如何做好典型例题的引导和示范,让学生增强用“反问题”思考问题的意识,勇于尝试增加解决问题的经验.最后让学生能够独立地根据现有的教材所提供的案例,做“反问题”思考的梳理,尝试提出类似的问题.

2 三角恒等变换中的发散与重构教学

三角函数的引入,让我们对“角”的认识从内涵和外延都上升到了新的层次.随着正余弦和差角公式、辅助角公式以及三角形的正余弦定理的引入,让我们可以更方便地解决平面甚至是空间中的诸多度量和角度问题.与此同时注意到三角函数的难点在于“三角恒等变换”,其是否顺利将直接影响归结为三角函数最终问题的求解.但如何能让“纷繁复杂”的三角函数找到同一个“归属点”,笔者从以下的典例中得到了些许启发.

分析:本例考查三角恒等变换的知识点,关键是如何理解诸如:“正余弦的和差角公式”、“倍角差角公式”、“辅助角公式”等一系列公式.

解法一:sin 15°=sin(45°-30°)

cos 15°=cos(45°-30°)=

解法二:从辅助角公式入手:

解法三:从正余弦的齐次式入手,分子分可以同除以cos 15°,构造正切,可以联想正切的和差角公式

解法四:注意到sin 15°与cos 15°是同角的正余弦,联想二倍角的正余弦公式,可以考虑先将原式平方

解法五:注意到分子分母是两个数和差,容易联想平方差公式,再利用二倍角的余弦公式

解法六:利用和差化积公式

反思:问题的切入点决定了问题的解决策略和方法的优劣.这一点在解析几何中,代数问题和几何问题的相互转化体现地十分明显.华罗庚曾提到,“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休”,可见数形结合在数学中的重要性.

在平时的教学中,可以根据教材深入挖掘一些学生容易理解的典型例题,在此基础上从不同的角度阐释,利用“一题多解”开拓学生的视野,培养多元化的思考问题的意识.

3 直线系方程蕴含的“一般化”思想

如果说“一题多解”侧重于发散思维,那么“多题一解”则检测的是归纳总结的能力.如何能站上更高的层次“俯看”问题,是问题解决的更高境界.直线系方程中所包含的“交点系方程”和“平行系方程”是我们“俯看”相关直线问题非常好的素材,如何“挖掘”好这部分素材,是提升学生归纳总结一般问题解决策略的关键性环节.

例如:求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程.

分析:本例由于在“交点”和“平行”的理解上的不同,可以有多种不同的解法.其实“直线方程”的难点在于“直线方程的的设法”,如何选择合适的直线方程形式,是学生初学直线方程,必须学会尝试增加解题经验的不可或缺的过程.让这样“试错”过程更加高效的策略是——尝试用不同的直线方程形式成功解决“同一个问题”,比较在解题过程中的“优劣”,为优化解题提供必要的参考依据.其实“直线系方程”的核心是如何在不直接求出“交点”坐标的前提下,可以将两条直线的“交点信息”包含在所设直线方程之中.

方法一:由于直线l和直线3x+y-1=0平行,则直线l的斜率k=-3,根据点斜式有即所求直线方程为15x+5y+16=0.

方法二:由于直线l和直线3x+y-1=0平行,因此设直线l的方程为3x+y+d=0,又知直线l过点所以因此所求直线方程为15x+5y+16=0.

方法三:因为直线l过直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点,可设直线l的方程为:(2x-3y-3)+λ(x+y+2)=0,即:(λ+2)x+(λ-3)y+(2λ-3)=0,又由于直线l和直线3x+y-1=0平行,所以解之得从而所求所求直线方程为15x+5y+16=0.

反思:(1)与l:Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+D=0(DC)

(2)经过两条直线:

与

交点的直线系方程:

(其中λ为参数),但要注意此方程不包括直线l2.

(3)将一类问题归结在一起寻找“一般化”的过程,是数学从“理论”上升为“思想”必不可少的一个关键性环节.其核心要点是,寻找和把握事物发展的本质.

下面这个例子给了笔者很大的启发:椭圆中内接矩形面积最大值问题

分析:本例可以利用椭圆的参数方程.设椭圆上任意一点P(x,y),为内接矩形的面积由椭圆的参数方程可知:即P(2 cosθ,sinθ)那么点P关于x轴与y轴的对称点分别为P1(2 cosθ,-sinθ),P2(-2 cosθ,sinθ),进一步可知:

因此:Smax=4.

如果考虑线性变换,那么本例还可以得到如下的解法:

令线性变换:P(x,y)→P′(x′,y′):则即:椭圆经过线性变换将变成一个圆,易知在单位圆中内接矩形面积最大的情形是——圆的内接正方形,其面积最大值为S′max=2.因此由可逆线性变换可知椭圆中的内接矩形面积的最大值为Smax=2S′max=4.

这里可以进一步解决:椭圆中内接多边形面积最大值.具体的解决方法可以是利用线性变换转化为圆的内接正多边形面积的最大值情况.比如:求椭圆内接八边形面积的最大值

4 学生核心素养培养的分析

4.1 核心素养在课堂中的落实问题

高中数学中所涵盖的六大核心素养,分别是数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象.首先应该明确的是不能将这些素养割裂看待,在解决一个实际问题的过程中这些素养是蕴含其中的.既然素养蕴含在解决问题的过程中,理应把素养的培育的着眼点和落脚点放在问题的解决中.在解决问题的过程中核心素养自然也提高了.

其次核心素养在课堂中的落实,并不是每节数学课简单的堆砌.而应该遵循如下的思维闭环:

教师提出问题→学生(或者学生合作)独立思考→提出解决问题的方案或策略→师生共同点评可行性→问题改善或者解决→→总结归纳在解决问题中的一般处理方法和思路,建立类似问题的方法体系→在“新”问题中,尝试用这种思路来处理思考问题,进而独立解决.

简单地说,就是不断地“提出问题——解决问题”,再“提出问题——解决问题”.

更为具体地表现为:课堂教学仅仅是这个思维闭环中的一个“局部”,如何让闭环完整地并且不断地推动下去才是素养落实的关键.笔者认为让学生有这样一种解决问题的“意识”,让学生保持好奇心和想象力是素养培育的源泉.其实中学的教学素材不少,如何去挖掘素材所蕴含的“深刻性”,让有限的“典例”催生出无限的解决问题的方法和策略才是我们应该关注的重点.

4.2 个人学习层次将直接影响核心素养培养的高效性

1946年,美国学者埃德加.戴尔(Edgar Dale)提出了“学习金字塔”(Cone of Learning)的理论(如下图),之后美国缅因州国家训练实验室也做了相同的实验,并发布了“学习金字塔”报告.

报告称:人的学习分为“被动学习”和“主动学习”两个层次.在被动学习中,听讲、阅读、试听和演示,学习内容的平均留存率为5%、10%、20%、30%.存在一个递增的趋势.而在主动学习中,通过讨论、实践和教授给他人,能将原来被动学习的内容留存率,从最高的30%,提升到50%、75%和90%.从结果来看,从被动学习到主动学习的学习内容平均留存率存在一个“倒三角形”,这个模型很好地展示了不同学习深度和层次之间的对比.

从以上的结果不仅可以看出,我们现行的课堂教学模式需要做出调整,课堂外学生的核心素养也需要及时固化下来.前面提到的“解题意识”不仅仅存在与课堂内的教学,课堂外的主动学习(包括主动提出问题、主动讨论问题的解决方案、实践方案的可行性、有意识地推广结果)才是真正形成核心素养的关键.若这个闭环没有“衔接”到位,课堂上教师的一切努力可能都没有实际成效.所谓的核心素养落实也是不切实际的“空谈”.

另外如今的时代,知识的获取已经不再是一个难题,但在如今知识极大丰富的背景下,知识的创造运用却十分有限.在下图的阅读金字塔中,不难发现,其实更多地我们在浅意识地“消费”知识,并没有没有深度学习运用甚至“创造”知识.

在如今的课堂教学中如何让每一堂课既有“输入”也有“输出”,也是核心素养在课堂中落实的重要参考指标.让学生将课堂中的有效知识,及时整理形成知识网络和知识体系,并且通过解决问题及时“输出”是现在亟待解决的核心问题.当然“输出”的过程可以是多样的,做规定的书面作业是最基础的一环,可否考虑在知识网络形成的过程中增加一些“开放性”的问题,让学生体会到“运用”知识来解决一些实际问题.也让学生的思维从课堂逐步过渡到生活,让学生真正体会知识是灵活的,知识的增加不仅仅是课本上的一个“点”,更是生活中问题解决的方式和手段.不断地学习和积累让问题的解决更加多元化,更加常态化.

4.3 问题提出和解决的方向性

我们应该更加关注高中数学中的工具性知识板块,这是提出问题和解决问题的出发点,也是提出问题灵感和触发解题意识的核心关注点.

例如:向量、三角函数、不等式、复数以及导数等一系列的工具性知识板块,让其真正发挥作用才能从本质上谈“知识运用”.(如表1)

表1 知识与思维层次

在讲解结束之后的一个章节,应该如何引导学生对章节的内容进行有效地梳理和总结,是我们容易忽略的问题.可以从以下几个方面进行思考:

(1)本章节解决了一些什么问题?是在原有认知的基础上,拓宽了问题的广度和深度?还是提出了一些新的问题?

(2)解决问题的核心方法和策略是什么?有什么核心的定理或者公理?

(3)当遇到新问题时,能否有一些标志性(可以识别)的“局部”引导我们利用这部分知识进行更加深入的思考(只要能推动问题向简化方面转化,我们认为问题都可以认为是有进展的.)

(4)能否与其他的知识板块建立联系(不同知识板块的融合和交织)

问题的解决是一个很抽象的过程,但确立一个可以尝试的方向是问题解决的第一步.其次是相关经验(之前解决过类似的问题)作为辅助,最终推动问题向已知的可测(可以大致看到问题最终的方向)的方向进行转化,逐步解决越来越可控的问题,最终有望问题得到真正解决.

4.4 关于核心素养的后继思考

数学学科核心素养的落实,并不是每节数学课简单的堆砌,是一个以学生思维发展、素养培育为主线的“漫长”过程.在这个过程中不仅仅是教师在起作用,学生必须在课前和课后有意识地去消化吸收数学思想,最终以问题为导向,驱动学生利用所学勇于尝试解决一些新的问题,并在不断的问题解决中提升自己的素养.

另外笔者还在积极地探索如何利用教育教学的前瞻性培养学生更为广阔的视野,以及如何利用多媒体教学,计算机辅助教学进一步推动核心素养的落实.