基于APOS理论的“完全平方公式”的教学设计*

广东省广州市第十六中学

POS理论是美国学者杜宾斯基等人提出的一种建构主义的数学学习理论,APOS由“Action(操作)”“Process(程序)“Object(对象)”和“Schema(图式)”四个英文单词的首字母组合而成,它体现了建构过程的四个重要的阶段.数学公式的教学有两种形式,例子到原理,原理到例子,前者是一种发现式学习,符合建构主义学习理论.因此本文将尝试把APOS理论运用到初中数学公式的教学上,通过《完全平方公式》这一课的教学设计来探究其对公式教学的理论指导意义和实践性.

1 “操作(A)阶段”

在学习新知识之前,教师基于学生已有的认知基础,创设问题情境,或者提出与当前认知相冲突的问题,燃起学生思考的火花,使得学生必须经过具体的“操作活动”,如动手操作、猜想、回忆、计算、推理等,亲自体验,为公式(a+b)2=a2+2ab+b2的学习提供感性基础.

教学设计

国王要对两个有功的骑士奖赏,扩大他们的封地.两位骑士原来各有一块边长为a米的正方形领地,第一个骑士对国王说:“您可不可以再给我一块边长为b的正方形封地呢?”国王答应了他.第二个骑士说:“我只要您把我原来的正方形领地边长增加b米,变成一个更大的正方形就好了.”国王想不通,问:“你们的要求不是一样的吗?”同学们,你们觉得是吗?

师生活动教师用课件展示问题情境.学生阅读题目,思考问题,计算比较.

设计意图教师把抽象枯燥的数学问题融入有趣的故事,吸引学生的注意力,思考如何运用数学知识来解决实际问题.

2 “程序(P)阶段”

在“操作(A)阶段”学生获得了直观感知,紧接着,就要对其进行组织和处理,经历观察、联想、归纳和概括等过程,才能实现顿悟和知识的内化,是感性认识逐渐上升到理性认识的阶段.在这一阶段,我们要设置由浅到深的问题,不断的引导学生进行思考,完全平方公式的展开式究竟有几项?每一项有什么特点?两数和的完全平方公式和两数差的完全平方公式有什么联系和不同?它们各自的几何意义是什么?

教学设计

活动一、教师引导学生用两种方式研究问题的结果:

(1)列代数式计算比较大小:

(2)作图比较大小.

从图形中同时发现了完全平方公式:

师生活动学生思考解决问题,反思解题方法.教师引导学生回答问题,对回答的情况进行分析点评.教师引导学生关注代数式的几何意义.

设计意图教师从代数和几何两方面来解释完全平方公式,抓住公式的本质特征.

活动二、

师:同学们,通过刚才的学习,你知道怎么计算下面的式子吗?

(1)(a-b)2;(2)(2x+3y)2;(3)(2x-3y)2

教师点评学生用两种方式计算(a-b)2:

方式一:

方式二:

教师点评学生用不同方法计算(2x+3y)2和(2x-3y)2.

教师提问:这些题目计算的结果有什么共同点?(a+b)2和(a-b)2的结果有什么区别和联系?

师生活动学生动笔解决问题,有的学生已经发现了这些算式都是完全平方公式,但是有些学生还在用乘法法则进行计算.教师根据学生的做题情况进行点评.通过提问来引导学生总结出完全平方公式的特征,能够用整体法套用公式进行计算,还能够用几何图形解释它们的意义.

设计意图教师给出问题,让学生在计算的过程中,探究其中的规律.教师用一系列的问题,引导学生归纳总结出完全平方公式,并说出它们的特征,区别.

3 “对象(O)阶段”

学生通过前面的程序,在大脑中不断进行描述和反思,抽象概括出公式所特有的本质特征,对其赋予形式化的定义及内涵,使其达到精确化,在头脑中建立起直观的知识结构形象.是在理性认识的基础上,达到全新认识的阶段.在这一阶段,我们可以不断的改变公式里的字母和符号,使学生充分感悟到公式结构的不变性和字母的可变性,公式对应的几何意义,同时还应特别注意符号的正确处理.

教学设计

师生共同总结完全平方公式,并强调了公式的结构特征.

教师顺便引导学生能否类比(a+b)2,用图形面积解释(a-b)2和(2x+3y)2?

例题:运用刚刚学过的知识计算:

(1)(3p+5)2;(2)(2x-7y)2;(3)(-2a-5)2

学生做题,教师观察学生答题情况,重点点评第(3)个小题,有如下三种算法:

原式=[(-2a)- 5]2=(-2a)2- 2(-2a)·5+52=4a2+20a+25;

原式=[(-2a)+(-5)]2=(-2a)2+2(-2a)(-5)+(-5)2=4a2+20a+25;

原式=[-(2a+5)]2=(2a+5)2=4a2+20a+25.教师请同学们比较思考,三种方式哪种最方便?

师生活动学生尝试用完全平方公式计算结果.教师观察学生的做题情况,发现不同的解题思路,展示典型的解答过程,进行点评.

设计意图能够用几何图形解释完全平方公式的几何意义.理解完全平方公式的字母可变,结构不变性,让学生通过练习题加以巩固熟练.

练习1、计算:(1)(4a2-3b)2;(2)(-5x+y)2;(3)

2、运用完全平方公式计算:(1)992;(2)1022.

3、计算:(1)(x+y)2-(x-y)2;(2)(2x+y)(2x-y)-(2x-y)2.

师生活动学生在作业本上进行计算,与同学的不同解答过程进行对照反思,总结更好的计算方法.教师点评学生的解答过程,总结其中一些易错点,符号的处理方式.

设计意图挑选典型习题进行强化训练,特别注意符号问题.

4 “图式(S)阶段”

教师提供反映新知识的特例、相关性质等情境给学生探究,学生对其进行深入学习.对前面几个阶段的经历及大脑中原有相关认识的不断的整合、精致,最终实现数学知识的建构,形成综合的心理图式.是理论应用于实际的过程.在这一阶段,我们可以采用题组变式训练和综合拓展练习,加深学生对公式内部各个整体之间的关系和两个完全平方公式之间各个整体的关系的理解和运用.同时还能把完全平方公式推广运用到三项及以上的平方运算中,起到简化运算的作用,真正实现公式的灵活运用.

教学设计

例题1:已知a+b=4,ab=3,求(a+b)2,(a-b)2;

变式:已知(a+b)2=11,(a-b)2=7,求a2+b2和ab.

教师点评:(a-b)2,(a+b)2,a2+b2以及ab这些式子之间都有联系,知道其中两个就可以求另外一些式子.

例题2、你会计算(a+b+c)2吗?

教师点评学生解答过程,可以有两种做法,并引导学生哪种方法更简便:

原式=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2;

原式=(a+b+c)(a+b+c)=a2+ab+ac+ba+b2+bc+ca+cb+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac;

教师再提问:你能用几何图形表示它的意义吗?

练习:计算:(1)(x+2y-3)2;(2)(2x+y-1)(2x+y+1)

师生活动学生尝试运用完全平方公式进行计算.教师观察学生观察练习题中每一项的符号特点,选择正确的公式进行运算.注意对学生的不同解题思路进行肯定.

设计意图让学生对完全平方公式有更深入的理解,能熟练的对公式进行灵活运用.

结论:公式教学不应是简单的告知学生公式的具体内容,然后题海战术,直至学生能熟练的运用公式进行计算.而应该让学生感知公式的来源,领悟公式的结构特征和本质,熟练掌握公式的正用逆用和灵动运用.完全平方公式这节课的教学设计,充分体现了学生在公式学习中,在“操作”中体验、在“程序”中感悟、在“对象”中归纳、在“图式”中升华,分层次逐步递进,体现了完全平方公式学习的螺旋上升,由感性到理性,到理解公式的本质,直至公式的综合运用.本节课能有效的提高了学生的抽象概括能力,准确运用公式的能力,数形结合的能力和问题解决的能力.因此,APOS理论对于本节公式课的教学的理论指导意义和实践性都很有效果.