对如何突破勾股定理逆定理教学难点的思考

吴春梅

摘 要：勾股定理逆定理的证明的学习，可以很好地考察学生对命题与逆命题的学习是否扎实。课堂中老师如何引导，是否在《命题》《勾股定理》教学中做好充分的铺垫，对于学生学习勾股定理逆定理非常关键。数学是一门严谨的科学，长远来看，从初中阶段开始对学生渗透数学思想、培养学生的数学素养，对学生后续学习非常重要;从教师实施教学的角度来看，教师数学素养的提高、如何理解教材、以何种方式向学生展示数学知识，又对培养学生的数学素养非常重要。

关键词：勾股定理逆定理;命题;逆命题;数学素养

一、勾股定理逆定理课堂教学实录

勾股定理是欧式几何中的一颗璀璨的明星，学生在正式学习勾股定理之前对其内容已有所了解，对勾股定理的证明也有所涉猎，课上表现出浓厚的兴趣，而对于勾股定理逆定理的了解却很少，甚至在勾股定理逆定理课堂上出现了以下情形。

师：已知一个三角形三边长为 3，4，5，请判断此三角形的形状。

生：直角三角形。

师：理由。

生：勾股定理。因为 3，4，5 为勾股数，根据勾股定理可以判断此三角形为直角三角形……

整個班级几乎全军覆没，混淆了勾股定理与其逆命题。

为了让学生找出自己的问题，我让学生重新回忆了勾股定理的内容，分清勾股定理的描述中的题设与结论，思考运用勾股定理的前提。让学生意识到，判定此三角形为直角三角形所要用到的理论依据是勾股定理的逆命题，但是此逆命题是真是假，有待我们大家来证明。

二、反思教学中的失误

学生集体出现同样的问题，教师就不得不反思，是否在某个教学环节出现了问题。

许多老师在上公开课时喜欢选择“勾股定理”，但“勾股定理逆定理”却非常少见。可见“勾股定理逆定理”这一课题比较难[1]。在《教学难点如何突破》一文中，教研员总结了在“勾股定理逆定理”这一堂课中，教师们突破难点的方式，由此反思自己在教学中出现了以下几个问题[2]。

1.在勾股定理逆定理的教学中，在复习完勾股定理后，没有做任何铺垫，直接给出问题“三边长度为 3，4，5 的三角形是什么形状？”学生刚刚接触完勾股定理以及勾股数，非常容易将老师的问题指向理解错误，不加思考直接回答问题。之后让学生思考勾股定理的运用条件，很多学生就已经意识到自己的问题。可见，如何将问题呈现给学生，也会在一定程度上影响学生思考问题的方向。

2.没有给足时间让学生认识清楚自己的问题，仓促解释后让学生证明勾股定理的逆定理。而在证明过程中，没有启发学生让学生充分理解问题，独立解决勾股定理逆定理的证明，导致学生对勾股定理逆定理一知半解。勾股定理逆定理的证明方法有很多种，应该放手让学生去思考和发挥，以留下深刻的印象[3]。

三、其他定理与其逆命题混用

在勾股定理逆定理的教学过程中，教师发现许多学生混用定理与其逆命题以后，在相继出现的以下两个定理的应用中，也出现了类似的问题。

（一）含30°角直角三角形性质定理误用

人教版八年级下册数学教材的第 60 页习题如下。

在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC。求∠A，∠B的度数。

多数学生如图1解答：

如图中显示，解答没有任何说理的过程，课堂上询问学生这样解答的原因，学生给的理由是“含30°角的直角三角形的性质”。

（二）直角三角形斜边上中线性质定理误用

此定理的逆命题是真命题，但是在课堂上从来没有提及更没有给过证明。在一次作业中却发现许多学生如图2所示运用此定理。 题目及学生的典型解答过程如图2所示。

解答过程只截取了与此命题相关的部分， 如同上一道题，除了已知条件， 得出∠AOB=90°没有任何论证过程。在与学生交流时，发现学生解答此题的理论依据是“直角三角形斜边上中线性质定理”。

四、找到问题的根本所在——逆命题概念不清

学生不只在“勾股定理逆命题”一堂课中出现问题，在遇到其他定理的逆命题的运用时也出现类似的错误。不难发现，学生的问题出现在“命题”的学习中。同理，多数学生出现同样的问题，那么一定是教师在教学中出现了问题。

初中阶段介绍逆命题时，是说将命题的题设与结论全部交换，但是学生所接触到的定理的逆命题，有的只是交换部分题设与结论，有学者将其称为“偏逆命题”。[4]由于老师在讲解逆命题概念时，完全没有涉及“偏逆命题”的内容，这导致学生对逆命题的概念比较模糊。仔细观察我们学生出现问题的几个例子，勾股定理与其逆命题是完全交换题设与结论，其余两个命题是部分题设和结论交换，属于偏逆命题。

高中阶段会继续在《简易逻辑》中深入对命题的学习，并且命题的学习进入高中后并不简单。在教学中老师们常常也会出现各种问题和争论。[5]这就要求老师在一开始就应该将逆命题的几种情况作简单的介绍，在学生接触到如上所述逆命题时，不致于对其是某定理的逆命题完全不知晓。

五、培养学生数学素养，从提高教师自身素养开始

我们一直在强调，要在教学环节中渗透数学思想，培养学生的数学素养，向我们的下一代传播数学文化，但老师自身的数学修养好，是实施这一设想的大前提。这就要求教师先要对整个教材有所思考和把握，充分理解教材。未雨绸缪，从学生的角度出发设想学生可能在哪些教学环节出现问题，教材中哪些知识有关联性，并且将相关联的知识提前在教学中做好充分的铺垫。

教师要提高自身数学修养，从而提高学生的数学素养，这对学生继续学习数学知识很重要。数学素养的培养，体现在每一个教学细节中。

参考文献

[1]蔡建成.勾股定理的逆定理的教学价值[J].中学数学月刊，1999（01）：9-10.

[2]庞彦福，赵清.教学的难点怎样突破：以勾股定理的逆定理证明为例[J].中国西部，2014（29）.

[3]叶添善.勾股定理逆定理的八种证法[J].教学与研究（中学数学版），1982（03）.

[4]孙振武.关于命题和逆命题的讨论[J].数学教师，1985（12）.

[5]尚爱华，任会昌.关于命题的讨论[J].数学通报，2001（08）：21-22.

[6]徐彦明.《关于命题的讨论》一文的一点瑕疵[J].数学通报，2002（06）：29.