情景设计抽象概念，类比概括构建方程

张之斌

[摘  要] 《椭圆及其标准方程》是研究椭圆几何性质的基础，其理论和模型对于后续曲线的探究有着一定的借鉴价值，在实际教学中需要立足知识核心，合理设计教学环节，促进学生知识与能力的双重提升.文章充分考虑学情，基于知识探究反思教学环节.

[关键词] 椭圆;标准方程;概念;情景;探究

《椭圆及其标准方程》是选修2的重要内容，也是高考的重点考查章节，是在学习了直线与圆方程的基础上利用坐标法对曲线的进一步研究，同时该章节的研究方法和思路也可为后续双曲线、抛物线的研究提供理论参考. 本节内容的教学重点是椭圆的定义、方程，及其坐标法的基础思想，考虑到学生的认知能力有效，需要合理设置教学内容，采用合理教学方式，使学生体会知识生成，感悟方程建立，下面基于核心素養培养提出几点教学建议.

情景设计，认识椭圆

椭圆的定义是章节内容的基础知识，也是椭圆的本质属性，属于全新的内容. 学生对椭圆的定义和形成并没有深刻的认识，因此在教学中需要首先完成椭圆认知，应合理设计教学引入，帮助学生完成课堂过渡.椭圆在生活实际中有着广泛的存在，教学中可以采用情景教学的方式，利用直观图影来感知椭圆.

教学中可以提前准备与椭圆相关的图片、实物，或利用多媒体来播放一些天体运行的轨迹图像，使学生对椭圆产生感性认识.

引题：大家是否见过椭圆？天体的运行轨迹是什么形状？大家还能举出哪些椭圆的例子？本节课我们要探究椭圆，学习椭圆的定义和方程.

设计教学情景可以有效激发学生的学习兴趣，快速融入课堂. 实际教学中，教师可以演示椭圆的动态图像，初步感知椭圆的特征，在播放完椭圆轨迹后要及时设问，给学生留足思考的空间，引导学生思考椭圆的特点，以便后续对椭圆定义进行归纳.

合理探究，抽象推理

椭圆的定义对于学生而言较为抽象，教学中应采用知识探究的方式，合理设计教学活动，引导学生参与实验，通过亲身体验来完成概念归纳. 教学中提倡分三个阶段进行：演示实验→归纳总结→辨析推理.

阶段一——演示实验

椭圆的形成是动态变化的过程，与圆之间有着密切的关联，教学中可以参考圆的教学设计演示实验：

（1）让学生提前准备一条长15 cm的细绳;

（2）将绳子的两端用图钉F1和F2固定在纸板上，确保两点之间的距离为10 cm;

（3）用书写笔将细绳拉紧，在纸板上慢慢移动，利用笔尖将运动轨迹绘制在纸板上，让学生观察所绘图形的形状.

阶段二——归纳总结

完成实验后对上述实验过程进行模型抽象：设定笔尖为动点P，两个图钉F1和F2的位置为定点，如图1所示，让学生思考如下问题.

问题1：动点P移动的过程中需要满足什么条件？哪些是变化的，哪些是不变的？

问题2：绳子长度与定点距离之间是否存在关联.

在实验过程中可以让学生一边操作一边思考问题，利用问题来适度引导，结合上述两个探究问题逐步概括椭圆的概念. 椭圆的概念概括过程中需要关注两点：一是关注“平面内”，二是突出其中的“定点”和“常数”，结合关键词的概念概括椭圆的特征.另外椭圆的概括需要完成语言之间的转化，即文字语言和数学语言之间的对应，尤其是引导学生从集合角度描述椭圆：PF1+PF2=2a（2a>2c，2c=FF）.

阶段三——辨析推理

完成概念归纳之后还需要对其加以辨析，这是由于高中阶段需要学习的曲线较为众多，掌握曲线图形的特性对于后续解析几何问题的突破十分重要.基于椭圆概念可知点F1和F2表示椭圆的焦点，F1F2则表示焦距，可结合如下问题进行辨析.

问题1：如果PF1+PF2=F1F2，所得点P的轨迹是否为椭圆？

问题2：如果PF1+PF2

上述实则是基于动点到焦点距离之和与焦距大小之间的问题，通过问题辨析有助于学生理解椭圆概念的内涵，也能及时反馈学生的学习情况，帮助教师评估教学效果，合理优化教学.

类比迁移，方程构建

本章节的第二部分内容是教学椭圆的方程，是椭圆的感性认识到理性认知的关键环节. 其实作为解析几何重要的组成，椭圆与直线、圆等其他曲线之间有着一定的联系，对应方程的学习步骤是相一致的，因此可以采用类比迁移的方式教学.

显然椭圆方程的构建过程需要经历四步，即建坐标系→设关键点→推导列式→化简得方程. 实际教学中可以基于上述总体思考来构建椭圆的方程，同时注重设问引导，方案设计.

第一步——建坐标系

所建坐标系不同获得的代数式也会有所差异，教学中需呈现不同的建系方案，引导学生思考方案的优劣，如以下两种方案.

方案一：焦点F1和F2建在坐标系的x轴上，以点F1F2的中点作为坐标系的原点，如图2;

方案二：以椭圆的下端点所在平行线为x轴，以椭圆左端点所在垂线为y轴建立坐标系，如图3.

结合图像的对称特性，类比圆的建系方式学生很容易可以确定方案一更为合理，后续所构方程也更为简单.

第二步——设关键点

该步是后续列式的关键，基于椭圆概念可知PF1+PF2=2a，教学中需再次引导学生关注该式中定点F1和F2及动点P，从而确定设点P的坐标为（x，y）.

第三步——推导列式

列式是构建方程的核心，该步中需要根据选定方案，结合关键条件来构建方程，实则就是实现几何条件的代数坐标化，即P={PPF1+PF2=2a}，教学中需要按照两点之间的距离公式计算.

动点P的条件坐标化：PF1=，PF2=.

集合条件的代数化：+=2a.

第四步——化简得方程

化简数式、整理方程对学生的运算能力有着一定的要求，也是求解椭圆方程的难点之一，教学中需要引导学生思考如何简化涉及根号的方程，逐步形成“移项去根号，同除得方程”的化简思路，在此不再赘述方程的化简过程.

类比迁移、构建方程过程中还需要关注两点：一是讨论方案，二是解读几何意义.方案讨论主要出现在建系教学中，除了考虑图像的对称性外，还需要关注焦点所处的坐标轴，这也是造成后续椭圆标准方程不同的根本所在. 而解读几何意义则是解析几何内容的教学要求，重点关注其中a和c的几何意义，指导学生基于该意义来直接构建椭圆的标准方程，这对于学生理解椭圆方程有着极大的帮助.

归纳概括，应用变式

橢圆的方程中含有三个参数a，b，c，参数之间有着一定的关联，其大小关系影响到焦点所在位置，同时在曲线图像上有着一定的几何意义，因此十分有必要对椭圆的标准方程进行辨析概括，同时需结合适当的问题来进行新知巩固.

1. 关于标准方程与图像的归纳

对椭圆方程的辨析概括需要从两个方面进行，其一是概括方程的特征，有以下三点内容：

①椭圆标准方程的形式，即二元二次方程;

②方程中三个参数所代表的含义，对应的线段长;

③椭圆方程中焦点位置与参数大小之间的关系.

其二是结合图像来归纳椭圆参数对图像的影响，同样需要从以下三点进行：

①结合勾股定理来建立三个参数之间的关联，以焦点位于x轴上为例（图4），a2=b2+c2;

思路与指导：辨析方程的思路是教学的重点，需要引导学生合理分析椭圆方程. 首先从方程的形式来判断是否为椭圆方程，然后结合a>b>0来确定椭圆的焦点，并求解椭圆的三个参数. 以③式为例，显然a2=25>b2=16，对应的分母中分别含有y和x，显然焦点坐标位于y轴上.

问题2：椭圆的两个焦点坐标分别为（-4，0）和（4，0），椭圆上的动点P到两个焦点的距离之和为10，试求该椭圆的标准方程.

思路与指导：需要根据椭圆的几何意义来求解方程中的参数，首先根据焦点坐标判断焦点所在坐标轴，然后确定参数a和c的值，结合三者关系求b值.

总之，教学《椭圆及其标准方程》需要立足章节的核心内容，充分考虑学情，采用知识探究的方式设置活动. 教学中需要合理设问、正确引导，关注概念内涵，重视方程意义，同时设计教学环节时要充分将数学的核心素养融于教学内容中，提升学生的综合素养.