圆柱究竟有多少条高

林育云 章勤琼

【摘   要】圆柱的高的概念具有双重意义，高线是指线段，有无数条;高度则是高线的度量值，只有一个。高线和高度分别从“形”和“量”两个角度对圆柱的高进行了描述。在几何概念的教学中，教师要淡化文字形式的表达，充分挖掘概念的内涵，设计多层次的活动让学生多角度、多维度地认识、理解圆柱的高的本质。同时，在教学中还要注重活动经验的积累和知识方法的迁移。

【关键词】圆柱的高;几何概念;理解;活动经验

空间观念是《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的核心概念之一，虽然小学数学教材并没有给出空间观念的明确定义，但发展学生空间观念的学习内容却贯穿“图形与几何”学习的全过程。[1]空间观念的发展需要依托对重要几何概念的理解，然而，对一些几何概念，教师可能存在不一样的理解。

一个教师QQ群曾经讨论过这样的问题：圆柱有多少条高？之所以提出这个问题，是因为在教学用书上有这样一句话：连接圓柱两个底面中心的线段就是圆柱的高。这句话从字面上理解是说圆柱的高只有一条，就是连接两个底面中心的线段。然而，在日常教学中，我们经常说：圆柱有无数条高。这里的一条和无数条是否矛盾？那圆柱究竟有多少条高？在教学中又需要注意什么？这需要我们对相关概念进行梳理，进而对教学作进一步的思考。

一、圆柱高的概念的双重意义

现代数学对圆柱高的定义是“两个底面间的距离是圆柱的高”[2]。圆柱的两个底面是平行的，《数学辞海》中对“两平行平面间的距离”的解释是“刻画两平行平面相关位置的一个数量”[3]。人教版和苏教版教材对圆柱高的定义都是：圆柱两个底面之间的距离叫作圆柱的高。可以看出，这里的高表示的是长度。北师大版的教材虽没有对圆柱高进行定义，但教材动态呈现由面到体旋转得到圆柱的过程，并在对圆柱各部分名称（底面、侧面、高）的教学当中，定义O'O这条线段为圆柱的高，相关配套教学用书中的解释为：连接圆柱两个底面中心的线段就是圆柱的高。这里的高表示的是一条与底面垂直的线段。圆柱的高指的是长度还是线段？更进一步地进行分析，表示长度的“度量值”应该是唯一的，而我们却经常说圆柱的高有无数条，这些应该如何理解？

在小学阶段“图形的认识”中，常常需要画出一些图形的高，这时的“高”指的是一条垂直线段，它是一个图形;而在计算面积时也会用到高，这时的“高”指的是一条线段的长度，是一个数量。因此，“高”有两种不同的含义：表示一个图形（符合特定条件的一条线段）或者指一个数量（该线段的长度）[4]。可见，在讨论几何图形的高的时候，是有两个不同层面的意义——高线和高度。高线是一条线段，高度则是高线的度量值[5]。因此我们可以这样理解，圆柱的高有无数条，是从高线的意义上来讲的，所有与底面垂直且在两底面之间的线段都可以看作圆柱的高;圆柱的高只有一个，是从高度的意义上来说的，圆柱的所有高线的长度度量值都是一样的。这也说明高既有“形”的意义，也有“量”的意义。在数学中，有些概念的确有多重意义。例如，在不同的背景中，“圆”既可以表示“圆周”，也可以表示“圆面”;三角形、长方形、平行四边形等平面图形既可以指这些图形由边组成的外围，也可以包括内部;等号既可以表示计算结果，又能表示左右两边相等的关系;而分数，则至少有“部分与整体的关系”“商”“度量”“比”和“运算子”这样五种不同的意义[6]。

当我们厘清圆柱的高有“高线”和“高度”两种不同意义后，并不意味着一定要从文字上跟学生讲解两者的不同。理解一个概念，意味着要理解它的准确定义、直观内容，以及为何需要这个概念、在什么背景下它会发挥作用[7]。而且，根据上下文，一般都可以判定其中所说的“高”指的是哪一种意义[8]。因此，我们更需要让学生真正理解圆柱的高的概念本质以及不同的意义，而非单纯从文字上判定圆柱的高的定义是否准确，或者回答“圆柱究竟有多少条高”这样的问题。从这个角度去理解圆柱的高并思考相应的教学，才能站在更高的高度引领学生学习，用更广的视野主动沟通知识间的联系，设计多维的、有层次的学习活动帮助学生认识和理解几何概念，发展学生的空间观念。

二、如何帮助学生更好地理解圆柱的高

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体;想象出物体的方位和相互之间的位置关系;描述图形的运动和变化;依据语言的描述画出图形等。[9]学生的空间观念可以包括以下几个方面：一是转化，二是表达，三是分析，四是想象[10]。要发展空间观念，首先需要深入地理解一些重要的几何概念。

在几何概念的学习中，需要“淡化形式，注重实质”[11]。以“圆柱的高”为例，因为圆柱的高具有“高线”和“高度”的双重意义，因此，在教学中需要设计多层次的活动，帮助学生建立丰富的图形表象，从而更好地理解概念本质。

第一，通过观察认识圆柱的高。教师可以让学生先观察圆柱形物体，指出圆柱的高。因为圆柱的母线是在圆柱的外部，学生比较容易找出;可以利用牙签和牙签盒这种比较直观的物体让学生来认识圆柱的高不止一条;还可以通过切割的方法，把圆柱沿着与底面垂直的方向任意切割，让学生感受到圆柱的高也存在于它的内部，并且有无数条。这是认识“形”的意义上的“高线”，有无数条。

第二，通过度量认识圆柱的高。教师可以引导学生用不同的方法对圆柱的高进行测量，如直接测量圆柱的母线，用平移法来测量圆柱的高，从不同的位置进行测量，从水平方向对高进行测量。学生在测量的过程中明晰，虽然圆柱的高有无数条，但它们的长度都是一样的，都是两个底面之间的距离。这是认识“量”的意义上的“高度”，高度只有一个。

第三，通过运动认识圆柱的高。对于图形的认识，不仅可以从静态的角度去认识它，还可以从动态的角度去丰富对它的认识。[12]教师可以借助生活中的“旋转门”等素材，让学生感受“面动成体”;用贴有长方形小纸片的小棒快速地旋转一周，得到圆柱，实现二维图形到三维物体的转化，并在长方形中寻找圆柱的高。通过这样的操作、联系和想象，能更好地帮助学生理解高的概念，同时发展空间观念。

需要指出的是，教师在教学中还需要通过相应的变式让学生更好地认识圆柱的高，比如改变圆柱放置的位置——竖着放、横着放、斜着放，让学生指出它的高，由此意识到不管圆柱摆放的位置如何变化，它的高依然是两个底面之间的垂直线段，而高度则始终是两个底面之间的距离;还可以让学生了解在生活中圆柱的高还有其他名称，如硬币的高可以叫厚，烟花筒的高可以叫长，桶的高可以叫深，虽然叫法不同，但指的都是圆柱的高。像这样通过多种变式，学生能更好地挖掘概念的特征与内涵，多角度、多维度地认识、理解圆柱的高的本质。

三、几何概念教学的两点建议

理解图形概念的本质是第二学段图形认识的重要教学目标[13]。圆柱的高是构成圆柱的一个要素，同时从“形”和“量”的角度对圆柱进行刻画。教师可以提供丰富的素材，通过设计多层次的学习活动，从外部到内部，从实物到想象，从观察到表达，让学生在观察、操作、想象等活动中深刻地理解圆柱高的内涵。除了采用丰富的教学内容和手段之外，教师在进行几何概念的教学时还要重视以下两个方面。

第一，注重活动经验的积累。首先，需要积累操作活动经验，在教学过程中教师要设计丰富的活动，提供充足的时间让学生动手操作。如从不同的角度测量高以加深对高的认识，用长方形、直角三角形快速旋转一周来体验圆柱或圆锥的形成过程。其次，需要积累想象经验，譬如，拿一张长方形纸，分别用它的长、宽以及长方形的对称轴进行旋转，让学生想象它们旋转后的图形，并思考所形成的不同圆柱的表面积和体积与长方形的哪些边有关。再次，需要积累表达经验，教师可以为学生提供多种形式的表达图形的机会，并强调语言的表达。在学习的过程中，通过语言的表达，学生更深入地理解几何概念，进一步发展空间观念。

第二，注重知识和方法的迁移。几何概念的学习，是建立在已学知识的基础上的。因此，教师要特别重视几何概念学习过程中知识的前后联系。首先是知识的迁移，学生对高的学习并不陌生，可以将圆柱的高与之前学习的三角形、平行四边形、梯形等平面图形的高建立联系，让学生在比较中发现所有图形的高都是对距离的描述，是决定图形大小的要素，但三角形的高描述的是点与线之间的距离，平行四边形、梯形的高描述的是线与线之间的距离，圆柱的高描述的则是面与面之间的距离。其次是方法的迁移，对高的研究是从三角形开始的，从高的概念、度量值、画法、测量以及它的长度对三角形大小的影响等方面进行研究，这样的研究方法同样可以迁移到对其他图形高的学习上，包括立体图形的高。而且，对于几何图形中不同要素的学习，也可以从形状、位置关系、图形的变换、度量值等方面进行研究。除此之外，像平行四边形的面积是用转化的方法进行研究的，研究其他平面图形的面积、立体图形的表面积以及体积的时候也可以用同样的方法。

通过知识和方法的迁移，学生逐步认识到，在“图形与几何”的学习中，虽然有些知识从表面上看不一样，但其本质是相同的，而在方法上也可以进行迁移，从而有意识地形成知识结构网络，更好地理解几何概念，掌握几何学习的方法。

参考文献：

[1][2]吴正宪，刘劲苓，刘克臣.小学数学教学基本概念解读[M].北京： 教育科学出版社，2014：17;295.

[3]何思谦.数学辞海[M].太原：山西教育出版社，2002：227.

[4][8]金成梁.小学数学疑难问题研究[M].南京：江苏教育出版社，2010：114-115;115.

[5]章勤琼.小学数学中的高观点及其对教学的指导意义——以“三角形的特性”为例[J].小学教学（数学版），2017（12）：13-15.

[6]章勤琼，徐文彬.论小学数学中分数的多层级理解及其教学[J].课程·教材·教法，2016（3）：43-49.

[7]伍鴻熙.数学家讲解小学数学[M].赵洁，林开亮，译.北京： 北京大学出版社，2016：1.

[9]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京： 北京师范大学出版社，2012：6.

[10][12]张丹.小学数学教学策略[M].北京： 北京师范大学出版社，2010：150;157.

[11]宋乃庆，陈重穆.再谈“淡化形式，注重实质”[J]. 数学教育学报，1996，5（2）：15-18.

[13]侯正海.“图形的认识”教学中的几个关键问题[J]. 小学数学教育，2018（Z4）：116-119.

（广东省揭阳市榕城区红旗小学   522000

温州大学教育学院   325035）