由部分到整体 从方法到策略

张梅英 韩雪

【摘   要】“租船问题”是一类基于数量关系的较复杂的应用问题，对于培养学生的合情推理能力与应用意识有着重要的作用。教师可以从“基于信息提出数学问题”“尝试解决完善思路”“多维练习优化思路”三个方面展开教学，让学生在经历从部分到整体的过程中，不断丰富解题策略。

【关键词】租船问题;问题群;方法;策略

“租船问题”是一类基于数量关系的较复杂的应用问题。教师在实际教学中应注重结合具体情境培养学生的合情推理能力与应用意识。那么，怎样组织教学，让学生体会到“租船问题”的现实意义？如何结合具体的事例总结出寻找“最优租船方案”的一般步骤？如何结合具体的情境，选择合理的解决问题的方案？笔者进行了教学实践。

一、基于信息提出数学问题

人教版教材中有关基于数量关系的较复杂的应用问题，步骤相对较多，体现了现实问题的复杂性。如“租船问题”，要完整地表述整个解答过程，至少需要经历9个一步计算，这远远超过了《义务教育数学课程标准（2011年版）》中关于四则混合运算的步数规定——两步运算为主，不超过三步。那么，如何引导学生进行这么多步骤的分析呢？笔者认为，可先对信息进行整理分类，然后选择有联系的信息尽量多地提出问题，再把问题进行分类，寻找联系，形成问题串，解决问题的思路就在这个过程中形成了。

（一）分析信息提出问题

教师课件出示“租船问题”中的主题图（教材第10页例5），并提出问题：“从图中你能得到哪些数学信息？”指名学生回答，相互补充完善，得到如下信息：①一共有32人。②大船每条30元，限乘6人。③小船每条24元，限乘4人。教师追问：“根据这些信息你能提出哪些数学问题？”学生提出如下问题：①租一条大船每人需要多少钱？②租一条小船每人需要多少钱？③如果32人全部坐小船，共需多少钱？④如果32人全部坐大船，共需多少钱？⑤怎样租船最划算？

只出示教材例题中的信息，让学生在梳理信息后提出各个层次的问题，这实际上是基于数量关系解决问题中利用综合法分析问题的思路。此时还没有具体要解决问题的指向，学生可以更开放地提出问题。由于信息较多，有一些问题是选择了其中的部分信息提出的，有一些则是在听到了别的同学回答后提出的。

（二）比较问题归类整理

上面的五个问题中，第⑤个最有价值，其余的大部分是解决第⑤个问题的中间问题。把以上的问题进行归类整理，可逐步明晰这些问题之间的层次与关系。

教师请学生观察问题群，提出新的要求：“把上面的问题分一分类，可以分成哪几类？为什么？”学生独立思考后先在小组中交流，最后反馈。

实际教学中有两类整理的结果，如图1与图2所示。教师请学生分别说一说这样分类的理由。

[①租一条大船每人需要多少钱？

②租一条小船每人需要多少钱？

③如果32人全部坐大船，共需多少钱？

④如果32人全部坐小船，共需多少钱？

⑤怎样租船最划算？

] [①租一条大船每人需要多少钱？

②如果32人全部坐大船，共需多少钱？

③租一条小船每人需要多少钱？

④如果32人全部坐小船，共需多少钱？

⑤怎样租船最划算？

通过问题分类，学生发现不论如何分，总是要把第⑤个问题分成独立的一类，而且前面两类问题，只是涵盖了其中的部分信息，或者只是求出一个结果。而第⑤个问题却要综合应用上面的一些问题，更有价值。

（三）尝试解决规划思路

依据信息提出问题与整理问题，学生初步感知了问题之间的联系，并通过比较发现怎样的问题更有价值，也就是说第⑤个问题才是“租船问题”。在此基础上，教师引导学生解决最有价值问题，并逐步概括出解决“租船问题”的基本思路。

生1：先判断租哪一种船便宜就租哪一种。

师：大家能够依据生1的回答，从其余的四个问题中选出需要的问题，并把它们排一排吗？

生2：我的顺序是①②→③→⑤，就是先算出两种船的座位单价，哪一种便宜就租哪一种。

生3：我的顺序是②④→⑤，先算出全租大船或小船的总费用，再比较哪一种划算。

教师组织辨析生2、生3的思路哪一种更合理，讨论后认同生2的思路。

由此，笔者认为“租船问题”的教学，不仅仅是为了解决“怎样租更便宜”的问题，而是要让学生体会到现实问题的复杂性，培养学生依据信息发现问题、提出问题以及评价问题的能力。

二、尝试解决完善思路

显然，利用生2的思路，并不能保证解决问题，但可以为正确解决问题提供进一步思考的生长点。因此，教师可以让学生用生2的思路尝试解决，然后结合图示进行评析，以完善思路。

（一）依据图示发现问题

实际教学中有如下两种计算过程（如图3、图4）。请学生说说它们有哪些相同与不同的地方。学生回答后概括，第一步是判断——优先租哪一种船;第二步是计算——全租這一种船的总价。

教师出示图5，要求学生结合图示进行辨析，发现问题。虽然图3中的租金便宜，但实际上租大船时，第6条船上会有空位，所以应该按照图4中的运算方法。

在此基础上，教师进一步追问：请观察第6条船，你发现什么问题？在教师的启发下，学生发现第6条船上只有两位同学，思考如果换成小船是否可以便宜一些。

（二）调整过程完善思路

依据学生发现的问题，教师请学生独立完成。有部分学生按照图6的方法解决问题，教师边巡视边提示：“能不能换成小船后没有空位呢？试一试，会不会更省钱？”依据教师的提示，学生结合图示有了图7的计算方法。

经过比较才能够说明哪一种租船方案更便宜。学生通过对四种不同的租船方案的比较，可以得到图7的租船方案是合理的，同时也是最便宜的。

（三）回顾过程总结步骤

从依据信息提出问題，到整理问题尝试解决，再到完善思路形成结果，整个过程均是依据学生解决租船问题应有的思维过程而设计的。教师可以整体展示从图3至图7的过程，请学生四人小组交流讨论，最后逐步形成如下步骤。

一判断。判断租哪一种船更便宜。

二计算。全租便宜的船需要多少钱？注意没有坐满的也要按整条算租金。

三调整。对不坐满情况进行调整。

四比较。比较各种方案，找到最省钱的方案。

对于调整的思路，按教材中的例题，均要调整到没有空位才是最省钱的，但也应引导学生思考，是否有把多出来的人调整到另外一种船后，虽然还有空位也是最省钱的情况。

三、多维练习优化思路

“租船问题”其实是“租船类问题”中的一个特例。因此，在后续练习过程中，在基本练习的基础上，要通过变式练习使学生的思维更缜密，改变情境，扩大其应用范围，体会利用数学知识解决问题的模型化与复杂性。

（一）基本练习巩固步骤

“租车问题”与“租船问题”在问题的情境与结构上基本相同。可让学生独立解决后反馈评析，随着问题情境的变化，逐步从“租船问题”向“租船类问题”转变。

学校要租车组织师生春游，现有14名老师和326名学生参加。大车可坐40人，租金900元;小车可坐30人，租金750元。请问：怎样租车最划算？

本题中包含的信息量更大，总人数没有直接告知，大车每人的租金不是整数，这些变化适当增加了“租船类问题”的复杂性。但在解决问题的过程中可以发现，它们的思考步骤是相同的。

（二）变式练习缜密思维

由于有前面两题的经验，学生会认为都要调整到如图7的形式才是最省钱的。这样，把原来需要多种方案比较的过程，变成了直接迁移一种方案得出结论。显然，这是一种不完全归纳，需要用实际例子加以纠正。

教师出示如下问题，请学生独立完成后反馈交流。

要运输32吨煤，用大卡车运输每次最多可运10吨，收费300元;用小卡车运输每次最多可运4吨，收费160元。请问：怎样租车最划算？

当学生直接将租车方案调整成如图7的形式，教师出示如图6的调整形式：3辆大车1辆小车，300×3+160×1=1060（元）。通过比较发现这样的调整更省钱。教师进一步追问：“那么有没有可能不进行调整，直接都租大车便宜的情况呢？”在学生感到困惑、不能肯定的时候，教师把总运煤吨数改为“36吨”。学生计算三种租车方案后，发现只租大车反而最便宜。

上面的例子说明，数学思维的优化并不是简单的简化，需要建立在缜密的思维过程中。在平时的学习过程中，当学生在解决问题时从特例中归纳出不合理的思路时，教师要提供变式，防止学生思维出现简单化现象。

（三）改变情境扩大应用

从基础到变式，让学生比较多种可能的方案是解决“租船类问题”的基本步骤。在此基础上，进一步改变情境，把多方案的比较作为解决问题的一般策略。为此，教师出示如下问题，让学生尝试解决后反馈交流。

旅行社推出“××风景区一日游 ”的两种价格方案。方案一：成人150元/人，儿童60元/人;方案二：团体10人以上（包括10人），每人100元。问题：（1）成人6人，儿童4人，选哪种方案合算？（2）成人4人，儿童6人，选哪种方案合算？

以上是由两个问题组成的题组，总人数不变，但随着成人与儿童人数的变化，选择的方案会不相同，这需要通过比较才可以确定。

总之，小学数学问题解决的教学，应该让学生经历在具体情境中提出问题，并逐步解决和完善的过程。教师在教学中要适时发挥引领作用，重在让学生体会问题的价值，注重解决问题思路的一般化，从部分到整体，最终实现由方法向策略的提升。

（浙江省杭州市萧山区所前镇第二小学   311254

浙江省杭州市萧山信息港小学   311215）