由抽象到具体 从现象到本质

黄利巢 王芳

【摘   要】“加、减法的意义和各部分间的关系”是在学生对加法与减法的计算及相关的应用问题有了大量认识的基础上教学的。在对人教版教材进行分析与二次加工的基础上，教师可组织学生通过加法计算过程中的几何直观概括出加法的意义，再通过编写应用问题发现数量关系与加法意义之间的联系和区别。减法的意义与加法的关系，则可以采用类比推测的方式得出。

【关键词】加、减法意义;抽象到具体;现象到本质

一般地，我们认为抽象都是从具体的情境中得来的。实际上，在数学学习中还有许多从数学抽象的结论中进行再抽象的情况，四则运算的意义的学习就是这样一个过程。在概括出四则运算的意义并运用其列举实际问题时，笔者发现，有一些实际问题的数量关系可以用运算定义直接解释，有一些则是运算定义的间接延伸。基于这样的认识，笔者对“加、减法的意义和各部分间的关系”的教学进行了重新设计。

一、加法意义的理解

通过对加法定义的理解，笔者认为，用具体的加法进行概括比用应用问题引出加法后概括出加法的定义更加合理，通过依据相同的算式编写出不同类型的应用问题后进行比较，能加深学生对加法意义的理解。

（一）通过计算感知加法含义

教师出示三道加法算式（如图1），请学生依次口算出结果，然后提问：“这三个算式有什么相同的地方？”当学生回答“它们都是加法”后，教师顺势提出：“那它们又是怎样加的呢？”教师用线段图演示“20+30=50”相加的过程（如图2中去掉三个虚线圈）。接着请学生用手势演示“加”的过程（如图2中分别圈出两个加数圈，再圈出和的圈），并用这样的手势演示余下两个计算题“加”的过程。

通过以上操作体验后，教师继续追问：“通过刚才的手势，你们能够说一说‘加是什么意思吗？”由此学生自然地发现“加”实际上就是“合并”。

（二）观察算式概括加法意义

教师进一步提问：“那么，加法是怎样的一种‘运算呢？请继续观察加法算式与图示说一说。”让学生由加法运算过程的直观演示感知“加”的含义。

当学生概括出加法的定义后，教师进一步引导学生抽象得到加法的关系式“加数+加数=和”。

在对数学概念下定义时，找准概念形成过程中最切合的原型十分重要。把加法的计算过程作为概括加法定义的原型，能让学生在具体计算的过程中概括出“加”的含義。

（三）编写问题丰富加法意义

加法的定义由加法计算概括而来。但是，回顾基于加法数量关系的应用问题，发现有一些与加法意义一致，有一些则是加法意义的延伸。笔者选择其中的“20+30=50”提出新的任务：“想一想，根据这个算式，你能解决什么数学问题？”

学生编题后，教师选择其中三种不同类型的例子板书展示。

第1题：四（1）班参加数学兴趣小组的同学有20人，四（2）班参加数学兴趣小组的同学有30人，两个班参加数学兴趣小组的一共有多少人？

第2题：修一段路，已经修了20米，还剩下30米没有修，一共要修多少米？

第3题：今年小明20岁，爸爸比他大30岁，爸爸今年多少岁？

请学生观察比较：“这三个问题虽然都是用‘20+30=50进行计算，但有什么不同的地方呢？”逐步引导学生发现，第1题中的两个信息是并列关系，第2题中的两个信息是有时间顺序的，是递进关系。依据学生的发现，教师让学生进一步概括出数量关系，并在第2题中圈出表示时间序列的关键词。接着请学生用加法定义中的关系式进行比较，说一说在这两个问题中两个“加数”分别指什么，“和”又指什么。再进一步引导学生评析第3题。请学生试着画出线段图，教师展示一名学生的作品（如图3），并请其他学生说一说与前两题有什么不同。

生：这题是爸爸的岁数与小明的岁数在作比较，所以我画了两条线段。

师（追问）：20岁是小明的岁数，在表示爸爸的线段中，它又表示什么意思呢？

生：是与小明“同样多”的岁数。

生：我知道了，这里爸爸的岁数也分成了两个部分，一部分是与小明同样多的，另一部分是比小明多出来的。

依据学生的认识，教师进一步总结：第3题是关于相差关系的应用问题，虽然两个信息在不同的线段上，但是用“同样多”可以把它们联系到一起。

许多数学概念包含着基本意义与延伸意义两个层次，如“分数”的基本意义是“份”的意义，后来随着计算与表达的需要，又发展出了“商”的意义与“比”的意义。因此，在进行归纳与总结阶段，需要通过实例，沟通它们之间的联系，构建起有层次的概念理解。

二、减法意义的理解

从一年级开始，学生已经有了加减法“一图三式”的经验（如图4）。当概括了加法的意义后，学生自然地会联想到减法的意义是怎样的，它与加法有怎样的关系。教师可通过提问，把这样的学习基础转化成学习减法意义的活动经验。

（一）通过减法计算概括减法意义

教师指着加法的板书提问：“刚才我们概括出了加法的意义，接下来要学习什么呢？”当学生说要学习“减法”后，教师一边板书一边提问：“那么我们又要怎样学习呢？”

生：可以先写几个减法算式，接着概括什么叫减法，再提出应用问题。

生：也就是可以按照加法的学习思路来学习减法。

教师请学生把“20+30=50”改写成两道减法算式，然后说一说改写依据以及什么叫减法。学生依据改写的过程概括出关系式：和-一个加数=另一个加数。教师请学生用“已知……求……”的形式概括出减法的定义。

由上述学习过程可以发现，加法的学习过程作为减法学习的活动经验，学生先订出学习方案，然后依据方案再学习，很好地体现了数学知识间的逻辑联系。

（二）比较明晰减法是加法的逆运算

有联系的数学知识之间往往是一种相互依存的关系。这种关系可以由学生结合具体的实例，通过比较分析进行发现与提炼。教师在让学生观察加法算式与减法算式、加法的关系式与减法的关系式、加法定义与减法定义的关系后提出新问题：“减法与加法有怎样的关系？”

生：减法算式是从加法中来的。

生：加法关系式中要求的和，在减法算式中是已知的数。

师（边评析边板书）：刚才同学们观察得特别仔细，发现了“减法是从加法中来的”，在数学上我们称减法是加法的“逆运算”。

与日常语言相比，数学术语更加精练、抽象，而日常语言则相对形象、浅显。让学生先用日常语言进行描述，教师再引出数学术语，这样可以帮助学生更好地理解数学概念。

（三）解决应用问题丰富减法意义

学生在由加法意义推导出减法意义，由减法意义概括出减法与加法的关系之后，自然地可以通过推导得到用减法解决问题的方法以及与加法一起构成的数量关系体系。

教师指着黑板上的加法算式提问：“既然我们可以从加法算式中推导出减法算式，又可以从加法的意义推导出减法的意义，那么我们能不能从加法应用问题中推导出减法应用问题呢？能说一说它们之间的关系吗？”

学生依次编题，教师板书后请学生观察由加法编写而来的减法应用问题，说说它们之间有什么关系。通过观察比较，学生发现减法中的被减数是“总数”或“较大的数”，也是加法中要求的数。

加、减法中的应用问题可以分为两种类型：一类是“部分数与总数”的应用问题，另一类是“相差关系”的应用问题。通过相应的减法应用问题的编写与比较，学生从应用的视角进一步理解了加法与减法的关系。

三、分层练习丰富理解

在原来的教材体系中，加、减法的意义与各部分间的关系是解方程的依據，解方程采用等式性质作为依据之后，这部分内容的教学价值有一段时间被淡化，甚至没有编入教材。重新编入教材后，怎样体现它的价值呢？通过有层次的练习，学生从数学推理、规律探究等角度认识其价值。

（一）基本练习学会推理

依据加、减法的关系，可以进行算式或计算结果的推理。教师可以变换题型，让学生在练习的过程中，灵活运用两种运算之间的关系解决具体的问题，如图5所示是一种基本类型。教师可以让学生依次口答，说出结论后再问学生依据。

[根据加、减法各部分间的关系，写出另外两个等式。][28+19=47][67-55=12]

图5

（二）题组计算归纳规律

通过有一定联系的题组练习，学生能发现数学知识之间的联系和内在的变化规律。在四年级上学期，学生已经学习了积的变化规律与商的变化规律，在加、减法教学中，教师可通过一些题组练习，让学生概括出和与差的变化规律。

教师出示如图6所示的两组问题，让学生边计算边观察，说说有什么发现。

从计算过程中学生归纳出当其中一个加数不变时，加数加上（或者减去）几，和也要加上（或减去）几。从右边的题目中同样可以概括出当被减数不变时，减数加上（或减去）几，差反而减去（或加上）几。让学生进一步思考，如果减数不变，被减数与差又会怎样变化，并在学生推测后进行举例验证。

（三）改编问题体会变化

在加法与减法意义的建构与列举相应的解决问题的数量关系时，学生已经对加、减一步计算应用问题有了更加系统的了解。教师让学生通过改编、增加信息或者问题，把简单的一步计算应用问题变成两步计算的复合应用问题，极大地提升了学生对数量关系解决问题结构的认识。

如有学生把加法计算的第一个应用问题改为：

四（1）班参加数学兴趣小组的同学有20人，比四（2）班少10人，两个班一共有多少人参加数学兴趣小组？教师展示学生作品，并请学生说一说改编的思路。

由基础到综合，从应用到思考，让数学概念在解决问题的过程中得到巩固，让解决问题有数学概念的支撑。

总之，数学学习的过程是一个不断抽象与发现规律的过程，在教学中，教师要提供与数学新知学习有着密切联系的旧知或现实情境，让学生在“温故”的同时提出新问题，进行新思考，获得新知识，形成新经验，渗透新思路。

（浙江省杭州市萧山区贺知章学校   311201）