关于初等行变换在线性代数中的应用

李华灿 李群芳 李师煜

摘要：初等行变换是线性代数的核心应用工具。文中从行列式的计算、求向量组线性相关性以及求解线性方程组等三个方面来浅谈初等行变换的应用。

关键词：初等行变换;行列式;线性相关;消元法

线性代数[1]是大学数学的一个重要组成部分，其主要目的是为了解线性方程，所用的工具有行列式、矩阵、向量，其中最重要的方法是利用初等行变换。本文将对初等行变换的应用总结如下：

一、在行列式中利用初等行变换将行列式化为上三角行列式

行列式，又称n阶行列式，由n行n列个元素组成，其值等于所有不同行不同列元素乘積的代数和。在行列式的计算中，常利用行列式的性质特别是行列式的初等行变换将行列式转化为上三角或下三角行列式，从而得出行列式的值。

例1 仅利用初等行变换计算下列行列式。

二、在求向量组线性相关性判别中的应用

求一个向量组的最大无关组[2，3]的方法由多种，如利用定义法：设词向量组的一个线性组合为零向量，证明是否存在非零的系数;利用行列式，若此向量组是由n个n维向量组成的向量组，可以由这n个n维向量构成一个行列式n阶行列式D，若D不等0，则此向量组线性无关;还可以利用矩阵的初等行变换，其步骤为将向量组中的向量作为矩阵A的列向量，然后对矩阵进行初等行变换，将此矩阵化为行阶梯形矩阵，若行阶梯形矩阵中非零行的行数和向量的个数相同，则此向量组线性无关，反之线性相关，进一步地可由此确定向量组的最大无关组。

三、在求线性方程组的通解中的应用

线性方程组[4，5]的求解是线性代数中重要的知识点，毫不客气地说，线性代数就是为解线性方程组而产生的学科。其求解方法主要含以下几种：（1）利用克莱姆法则。若方程组的系数行列式D不等于0，则方程组的解唯一，且有，其中是用常数项替代系数行列式的第列得到的行列式;若方程组的系数行列式D等于0，则此时不能用克莱姆法则来解。（2）利用消元法。其方法将方程组中的未知数逐步消元，从而得到方程组的解。（3）利用初等行变换。其方法是利用初等行变换将方程组的增广矩阵化为行最简形，从而得到方程组的同解方程组，由此得到方程组的通解。

参考文献

[1]范丽君，吴阔华. 关于普通工科院校数学与应用数学专业建设的几点思考[J]. 江西理工大学学报， 2007（5）.

[2]孟靖华. 两个群可逆矩阵线性组合的群逆[J]. 兰州文理学院学报（自然科学版）， 2014（01）.

[3]任驰远，田欣.  探讨可逆矩阵教学设计的思路[J]. 课程教育研究. 2017（04）.

[4]吴世玕，杜红霞. 线性方程组Ax=b的反问题[J]. 江西理工大学学报. 2006（01）.

[5]吴世玕，杜红霞.  关于线性方程组的一个注记[J]. 江西理工大学学报. 2007（01）.