基于竞争失效建模的导弹贮存寿命评估方法*

解 江，王泽洲，李 飞，李姗姗

（1.西北政法大学经济学院，西安 710063；2.空军工程大学装备管理与无人机工程学院，西安 710051）

0 引言

导弹是典型的机电类产品，具有“长期贮存、一次使用”的特点［1］，其在贮存期内发生的失效是退化失效和突发失效这两种失效模式之间相互竞争的结果［2-3］。为了提高导弹贮存寿命估计的准确性，需要同时利用导弹的性能退化数据和突发失效时间，建立竞争失效模型，进而开展导弹贮存寿命评估。

工程实践表明，弹上关键部件的健康状况可以近似反映出整弹的健康状况［4-5］。因此，通过对弹上关键部件的性能参数（如稳压器的特征电压、陀螺仪的漂移量等）进行定期测试，可以评估其健康状况，进而掌握导弹的整体健康状态［6-7］。

目前对于竞争失效建模研究，一般是假设退化失效与突发失效之间是相互关联的，即导弹发生突发失效的时间长短受其性能退化程度的影响，忽略两者之间的相关性，会增加其贮存寿命估计的不确定性［8］。Chen 等［10］、蔡忠义等［11］都采用比例危险模型，描述导弹性能退化量对其突发失效时间的影响关系，进而建立了退化失效与突发失效之间相关的竞争失效模型。丛林虎等［12］采用位置-尺度模型，描述了导弹性能退化量与突发失效率之间的相互关系，以表征性能退化量与突发失效之间的相关性。

对于退化失效建模的研究，一般认为导弹的性能退化过程服从Wiener 过程、Gamma 过程、逆高斯过程等常见的随机过程模型，进而推导出导弹退化过程首次达到失效阈值时间（简称首达时）的分布函数。王浩伟等［13］采用Gamma 过程来描述导弹整体退化过程，但Gamma 过程只能适用于严格单调退化过程，适用范围受限。

对于突发失效建模的研究，一般认为导弹是机电一体化产品，其突发失效时间服从威布尔分布［11］；也有人认为导弹发生突发失效是由于外部环境的随机冲击所致，因而认为其突发失效时间服从于齐次泊松过程［14］，但导弹突发时间的间隔一般不是均匀、等距的，难以满足齐次泊松过程的适用前提。

因此，本文首先基于一定的建模假设，建立导弹的相关性竞争失效模型；然后基于随机过程模型优选来确定导弹性能退化模型，推导出首达时的分布函数；最后采用比例危险模型，建立考虑导弹性能退化影响的突发失效模型。

1 竞争失效模型

在进行竞争失效建模前，一般假设：导弹在贮存期内对关键部件的性能参数进行定期测试时，若激励信号在正常范围内且具有一定的性能退化趋势，当达到规定的失效阈值时，可判定为退化失效；若激励信号无输出或超出规定范围，则判断为突发失效。

将导弹的失效时间记为T，导弹退化失效时间记为Td，突发失效时间记为Tr。导弹在贮存期（0，t］内发生失效是退化失效与突发失效相互竞争的结果，则导弹的贮存可靠度R（t）可表示为：

2 退化失效模型

将弹上关键部件的性能退化量记为Y（t），拟采用Wiener、Gamma 和逆高斯过程等随机过程模型，进行退化建模。

假设Y（t）服从Wiener 过程，即

式中，u 为漂移系数；σ 为扩散系数；B（·）为标准布朗运动；Λ（t）为时间t 的函数，表征退化量的非线性特征；Y（0）为初始退化量，不失一般性情况下，令Y（0）=0。

由于农民环保意识不强、秸秆回收成本较高、政府财政资金支持不足以及相关产业发展滞后等原因，秸秆焚烧难以禁止。要从根本上解决秸秆禁烧难的问题，必须坚持“疏堵结合、以疏为主”的思路。

假设导弹失效阈值为D，将导弹的首达时记为TD，可推导出TD的可靠度函数为：

假设Y（t）服从Gamma 过程时，根据Gamma 过程的性质，可推导出ΔY（t）的概率密度函数为：

假设当Y（t）服从逆高斯过程，根据逆高斯过程的性质，可推导出ΔY（t）的概率密度函数为：

式中，u，σ 分别为逆高斯过程的均值和尺度参数。

同时可推导出此时TD的可靠度函数为：

3 突发失效模型

根据工程经验，可假设导弹的突发失效时间服从双参数威布尔分布，根据威布尔分布的性质，将其失效率函数记为，表示如下：

式中，m 为形状参数；η 为尺度参数。

由于t 时刻导弹不能发生退化失效，可以进一步将上式改写为：

此时Tr的条件可靠度函数和条件概率密度函数分别为：

4 参数估计

现有一批共M 枚导弹，在规定的贮存期内对弹上关键部件的性能参数进行定期测试，将测试时刻

根据ΔY（t）的概率密度函数，建立弹上关键部件退化量数据的似然函数如下：

采用极大似然估计法，借助Matlab 软件中的Fminsearch 函数［15］，可求解θ1的估计值。

将AIC 作为选择导弹退化过程的最佳随机过程类型的判断准则，即AIC 值越小，对应的随机过程与其退化量数据之间的拟合性越好。AIC 值的计算公式如下：

采用极大似然估计法，求解出θ2的估计值。

5 实例分析

现有一批20 枚某型空地导弹，贮存期为10 y，每半年测试弹上稳压器特征电压，以评估导弹整体的健康状态。已知在贮存期内该批次导弹中有7 枚发生了突发失效，其突发失效时间及对应的特征电压（单位：V）见表1。

表1 7 枚导弹的突发失效时间及特征电压

已知该批导弹的退化失效阈值D 为0.172，则余下13 枚导弹中有8 枚发生退化失效，其退化失效时间及对应的特征电压见下页表2、具体退化轨迹见图1。

将本文提出的退化失效与突发失效之间相关的竞争建模方法记为M1；将退化失效与突发失效之间独立的竞争建模方法记为M2；将仅考虑退化失效建模方法记为M3。

表2 8 枚导弹的退化失效时间及特征电压

图1 弹上稳压器特征电压退化轨迹

5.1 参数估计结果

依据图1 中13 枚导弹退化量数据，采用极大似然估计算法，借助Fminsearch 函数，求得的估计值见表3。

表3 退化模型参数估计结果

5.2 贮存寿命估计结果

图2 突发失效时间的威布尔假设检验

根据上述参数估计值，计算出导弹贮存可靠性函数见图3。可以看出，与M2、M3 的可靠度曲线相比，M1 的可靠度曲线偏保守，符合工程做法，说明本文提出的退化失效与突发失效之间相关的竞争建模方法的可信性较高。

图3 导弹贮存可靠度曲线

进一步计算出这批导弹的平均贮存寿命的统计值为13.09。但实际上，由于导弹失效时间应该是介于当前失效时刻与上一次测试时刻之间，因此，导弹平均贮存寿命的统计值应介于12.59 与13.09之间。根据导弹贮存可靠度函数，计算出M1、M2、M3 的平均贮存寿命估计值分别为12.76、13.48、14.29。可以看出，M1 的平均贮存寿命估计值介于［12.59，13.09］之间，而M2、M3 的平均贮存寿命估计值不在其中，说明本文提出的方法的贮存寿命估计最小、与实际统计值相符（单位：y）。

6 结论

本文将AIC 值作为导弹退化过程的随机过程类型选取准则，能较好地拟合弹上关键部件的退化数据；采用比例危险模型，建立了考虑导弹退化量影响的突发失效率函数，以刻画导弹退化失效与突发失效之间的相关性；采用极大似然估计算法，借助Fminsearch 函数，求解出模型中未知参数估计值；结合某批次导弹贮存数据分析，通过与现有方法进行对比，说明了本文方法具有较好的贮存寿命估计精度。